ab/(a-b)=c

[Eleven]

Siano $a,b,c$ interi positivi tali che $\gcd(a,b,c)=1$ e $\dfrac{ab}{a-b}=c$. Dimostra che $a-b$ è un quadrato perfetto.

[Gi8]

Sia $p$ primo che divide $a-b$ (quindi $a-b= kp$). Voglio dimostrare che $p^2 \mid a-b$.

Siccome $\frac{ab}{a-b} \in \mathbb{N}$, necessariamente $p \mid ab$. Dunque $p \mid a$ oppure $p\mid b$.

Se $p \mid a$, allora $a= k_1 p$, da cui $kp=a-b= k_1 p-b \implies b= (k_1-k)p \implies p \mid b$.
Se $p \mid b$, allora $b= k_2 p$, da cui $kp=a-b= a-k_2 p \implies b= (k-k_2)p \implies p \mid a$.

Pertanto $p \mid a $ e $p\mid b$, dunque $p^2 \mid ab$.

Dato che $\displaystyle \text{g.c.d.}(a,b,c)=1$, necessariamente $p\nmid c$, cioè $p\nmid \frac{ab}{a-b}$.
Questo vuol dire che $p^2 \mid a-b$.


Dimostriamo ora che per ogni $n$ naturale \[p^{2n+1}\mid a-b \implies p^{2n+2} \mid a-b \]
Dal fatto che $\frac{ab}{a-b}\in \mathbb{N}$ si ha $\displaystyle p^{2n+1}\mid ab$, da cui segue che $ p^{n+1}\mid a \vee p^{n+1} \mid b$.
Come prima si trova che $ p^{n+1}\mid a \wedge p^{n+1} \mid b$.
Dunque $p^{2n+2}\mid ab$ e poichè per ipotesi $p\nmid \frac{ab}{a-b}$ necessariamente $p^{2n+2}\mid a-b$.

[jordan]

Siano $d:=\text{gcd}(a,b), A:=ad^{-1}, B:=bd^{-1}$, allora $\text{gcd}(dA,dB,C)=1$ e $dAB=c(A-B)$. Abbiamo che $d\mid A-B$, in quanto $\text{gcd}(c,d)=1$. Quindi $AB=c \frac{A-B}{d}$, e il secondo fattore è intero. Se un primo $p\mid A$, allora $p\nmid B$, e quindi $p\nmid A-B$, e anche $p\nmid \frac{A-B}{d}$, quindi $p\mid c$. Allora $\frac{A-B}{d}$ deve essere $1$ che è la tesi, equivalente a $a-b=d^2$. []