Rxgxr, il cugino di Qwfwq, scrive: "gli unici fattori primi di 2013 sono 3 e 11".
Rxgxr sa benissimo che cos'è un numero primo, ha vinto le olimpiadi della matematica nel suo pianeta, e non mente mai.
dove sta l'inghippo?
[liberamente modificato - nella formulazione - dal blog di maurizio codogno su ilpost.it]
i primi del 2013
Re: i primi del 2013
sarebbe piu' da matematica ricreativa 
Testo nascosto:
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Re: i primi del 2013
Sul pianeto di Rxgxr si conta in una base diversa da quella decimale.
E' evidente che i numeri $3$ e $11$ devono rimanere primi anche nel passaggio dalla base $b$ utilizzata in quel pianeta a quella decimale.
Il numero $3$ rimane primo per qualsiasi base $b\ge 2$, il numero $11$ lo possiamo scrivere come $11=b+1$, quindi per $b$ pari puo' essere primo, per $b$ dispari solo se $b=1$ é primo, ma $b=1$ é escluso.
La base deve essere dunque pari e $>3$, provando con i numeri più piccoli si vede che passando dalla base quattro a quella decimale $2013$ é $135$ e $3$ e $11$ sono, rispettivamente, $3$ e $5$, $135=3^3*5$.
E' evidente che i numeri $3$ e $11$ devono rimanere primi anche nel passaggio dalla base $b$ utilizzata in quel pianeta a quella decimale.
Il numero $3$ rimane primo per qualsiasi base $b\ge 2$, il numero $11$ lo possiamo scrivere come $11=b+1$, quindi per $b$ pari puo' essere primo, per $b$ dispari solo se $b=1$ é primo, ma $b=1$ é escluso.
La base deve essere dunque pari e $>3$, provando con i numeri più piccoli si vede che passando dalla base quattro a quella decimale $2013$ é $135$ e $3$ e $11$ sono, rispettivamente, $3$ e $5$, $135=3^3*5$.
Ultima modifica di Gi. il 26 dic 2012, 16:29, modificato 6 volte in totale.
Re: i primi del 2013
e chi dice che questa sia l'unica soluzione?
Re: i primi del 2013
Il fatto che tutti gli ET hanno meno ditama_go ha scritto:e chi dice che questa sia l'unica soluzione?
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Re: i primi del 2013
per inciso...ma_go ha scritto:e chi dice che questa sia l'unica soluzione?
Testo nascosto:
Re: i primi del 2013
Per chi volesse provare, il problema è equivalente (oltre la soluzione sopra) a trovare tutti i primi $p\ge 5$ tali che \[ (p-1)(p-2)=\frac{3}{2}(3^z-1) \] per qualche intero positivo $z$: qualche idea?
The only goal of science is the honor of the human spirit.
-
Robertopphneimer
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- Iscritto il: 14 lug 2012, 15:43
Re: i primi del 2013
Le molteplici soluzioni dipendono solo dal cambiamento di base?ma_go ha scritto:e chi dice che questa sia l'unica soluzione?
L'universo è come una sfera dove il centro è ovunque e la circonferenza da nessuna parte.
"Blaise Pascal"
"Blaise Pascal"
Re: i primi del 2013
Proviamo cosi':
$2(p-1)(p-2)=3(3^z-1)$
per cui $p-1\mid 3(3^z-1)$
in altre parole
$3(3^z-1)\equiv 0 \pmod{p-1}$
il che implica
$3(3^z-1)\equiv -1 \pmod{p}$
Quindi possiamo scrivere
$2p^2 -6p +4=3(3^z-1)$
e guardando l' espressione in modulo p
$4\equiv -1 \pmod{p}$
Da cui segue logicamente $p=5$
quindi:
$24= 3^{z+1}-3$
$8= 3^z -1$
$3^z=9 \Rightarrow z=2$
?
$2(p-1)(p-2)=3(3^z-1)$
per cui $p-1\mid 3(3^z-1)$
in altre parole
$3(3^z-1)\equiv 0 \pmod{p-1}$
il che implica
$3(3^z-1)\equiv -1 \pmod{p}$
Quindi possiamo scrivere
$2p^2 -6p +4=3(3^z-1)$
e guardando l' espressione in modulo p
$4\equiv -1 \pmod{p}$
Da cui segue logicamente $p=5$
quindi:
$24= 3^{z+1}-3$
$8= 3^z -1$
$3^z=9 \Rightarrow z=2$
?
Re: i primi del 2013
What the ...?!Gi. ha scritto:[...]In altre parole
$3(3^z-1)\equiv 0 \pmod{p-1}$
il che implica
$3(3^z-1)\equiv -1 \pmod{p}$[...]
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Re: i primi del 2013
Quello che intendevo dire è questo:
$ x\equiv0 \pmod{x} \Rightarrow x\equiv -1 \pmod{x+1} $
ma in questo caso non ho considerato che
$ 3(3^z-1)\neq p-1 $
Giustamente il passaggio è errato e quindi tutta la risoluzione lo è (sebbene il risultato finale è corretto).
Hint?
$ x\equiv0 \pmod{x} \Rightarrow x\equiv -1 \pmod{x+1} $
ma in questo caso non ho considerato che
$ 3(3^z-1)\neq p-1 $
Giustamente il passaggio è errato e quindi tutta la risoluzione lo è (sebbene il risultato finale è corretto).
Hint?
Ultima modifica di Gi. il 27 dic 2012, 11:49, modificato 1 volta in totale.
Re: i primi del 2013
Questo non è la stessa cosa dell'implicazione che hai scritto: per curiosità, come fai a dire che il risultato finale è corretto?Gi. ha scritto:Quello che intendevo dire è questo: $ x\equiv0 \pmod{x} \Rightarrow x\equiv -1 \pmod{x+1} $
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Re: i primi del 2013
Per $ p=5 $ e $ z=2 $ ottengo:
$ 2(5-1)(5-2)=3(3^2-1) $
$ 24=24 $
L' uguaglianza è rispettata.
$ 2(5-1)(5-2)=3(3^2-1) $
$ 24=24 $
L' uguaglianza è rispettata.
Re: i primi del 2013
Eh, grazie 
Intendevo, come fai a dire che non ce ne sono altre?
Intendevo, come fai a dire che non ce ne sono altre?The only goal of science is the honor of the human spirit.
Re: i primi del 2013
Uhm, non direi...jordan ha scritto:Per chi volesse provare, il problema è equivalente (oltre la soluzione sopra) a trovare tutti i primi $p\ge 5$ tali che \[ (p-1)(p-2)=\frac{3}{2}(3^z-1) \] per qualche intero positivo $z$: qualche idea?
Per esempio vale $2013_6=441_{10}=3^27^2_{10}=3^211^2_6$. Ma per $p=7$ la tua equazione non ha soluzioni...
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)