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Dimostrare che il prodotto di quattro numeri naturali consecutivi non può essere un quadrato perfetto (preso da un noto libro di problem solving).

Risolviamo quindi:
$ x(x+1)(x+2)(x+3)=t^2 $
$ x(x+3)(x+1)(x+2)=t^2 $
$ (x^2+3x)(x^2+3x+2)=t^2 $
Sostituisco $ (x^2+3x) $ con $ a $;
$ a(a+2)=t^2 $
$ a^2+2a-t^2=0 $;
$ \Delta=2\sqrt{t^2+1} $, quindi per ottenere valori di $ a $ interi $ t=0 $.
$ x(x+1)(x+2)(x+3)=0 $
Poichè $ x \in \mathbb{N} $ l'unica soluzione è $ (0, 1, 2, 3) $. Che rispetta la tesi

P.s. Avevo in mente una cosa un po' contorta che alla fine ho tolto... All'inizio visto che il prodotto cercato era $ (x^2+3x)(x^2+3x+2)=t^2 $, potevo dire che $ x^2+3x < t < x^2+3x+2 $???
...
Da cui poi derivava che $ t=x^2+3x+1 $!

Certo... Questo manda a farsi fottere l'idea che uno dei due fattori sia uguale a $ 0 $... Ma in altri problemi e in altre situazioni, il ragionamento funziona?

E se invece provassimo a sporcarci le mani?

$ f(x)= x(x+1)(x+2)(x+3) $
$ f(1)= 24= 5^2-1 $
$ f(2)=120= 11^2-1 $
$ f(3)=361= 19^2-1 $

Congetturiamo dunque che il prodotto di quattro numeri consecutivi è un quadrato a cui togliamo uno (il che implicala tesi).
Dimostriamo dunque che $ n(n+1)(n+2)(n+3)+1 $ è un quadrato perfetto.
Riscriviamo come

$ (x^2+3x)(x^2+3x+2)+1 $
$ [(x^2+3x+1)-1][(x^2+3x+1)+1]+1 $
$ (x^2+3x+1)^2 -1 +1= (x^2+3x+1)^2 $

Un altro modo ancora potrebbe essere di sviluppare $ (x^2+3x)(x^2+3x+2)+1 $, in questo caso ottieni un polinomio monico completo di quarto grado, quindi se è il quadrato di qualcosa è il quadrato di $ x^2 +ax +1 $, prova ad eguagliare e ricavare $ a $.

Oppure, ancora, si può riprendere l' idea della sostituzione $ x^2+3x=a $

$ a(a+2)+1=a^2+2a+1= (a+1)^2= (x^2+3x+1)^2 $

Questo problema mi piace molto, ha tante soluzioni e ognuna è a suo modo istruttiva.

Gi. ha scritto: Secondo me, più semplicemente essendo nei naturali possiamo dire che il prodotto di due, passami il termine, "cose" diverse non può essere un quadrato perfetto.

Falso. Intanto già come polinomi, due cose diverse e non coprime possono dare come prodotto un quadrato (es: $(x-1)(x+2)^2$ e $(x-1)(x+3)^2$). Se anche intendi che sono coprime, il prodotto di due quadrati diversi è un quadrato. E comunque, il problema non è dire se quel polinomio è un quadrato, ma se i suoi valori contengono almeno un quadrato. Ad esempio $x^2+x-3$ è un quadrato per $x=3$, ma non è il quadrato di un polinomio di primo grado. Questo dice anche che pure la tua osservazione successiva

Un altro modo ancora potrebbe essere di sviluppare $ (x^2+3x)(x^2+3x+2)+1 $, in questo caso ottieni un polinomio monico completo di quarto grado, quindi se è il quadrato di qualcosa è il quadrato di $ x^2 +ax +1 $, prova ad eguagliare e ricavare $ a $.

è sbagliata.

Quello di trovare un'identità a livello di polinomi è un buon metodo per mostrare che qualcosa è sempre un quadrato (come ad esempio si può fare per mostrare che il prodotto di 4 numeri consecutivi + 1 è un quadrato), ma non per dimostrare che una certa espressione non lo è mai (almeno non direttamente).

Il ragionamento di simone256 funzionava: se $t^2=ab$ e $a<b$, allora $a< t< b$ e quindi $t$ è quella cosa lì. Elevando al quadrato, vedi però che è sempre distante $1$ dall'espressione che avevi ottenuto per $t^2$ e quindi l'equazione non ha soluzioni.

Si, per la prima hai ragione, mi sono lasciato prendere la mano.
La seconda affermazione non era legata alla prima, era legata alla mia precedente congettura in base alla quale il prodotto di quattro numeri è un quadrato meno uno, quindi volevo dimostrare che il prodotto di quattro numeri a cui aggiungiamo uno è un quadrato, così da dimostrare la congettura e implicare la tesi del problema, infatti

$ n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n)(n^2+3n+2)= n^4+6n^3+11n^2+6n+1 $

Come detto prima se quella roba è un quadrato allora è il quadrato di $ (n^2+an+1) $, quindi eguagliando:

$ n^4+6n^3+11n^2+6n+1=(n^2+an+1)^2= n^4+a^2n^2+1+2an^3+2n^2+2an $

e si vede subito che per $ a=3 $ funziona, quindi quella roba è $ (n^2+3n+1)^2 $.

p.s. spero non ti dispiaccia se levo l' altra affermazione dal mio post precedente, ma la stupidata che ho detto è troppo grossa per lasciarla.