$(x+y)(xy+1)=2^z$
$(x+y)(xy+1)=2^z$
Risolvere negli interi positivi $(x+y)(xy+1)=2^z$
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Re: $(x+y)(xy+1)=2^z$
Sicuramente i due fattori sono potenze di 2, dato che 2 è primo, quindi
$ x+y=2^m $
$ xy+1=2^k $
sommo membro a membro
$ (x+1)(y+1)=2^m+2^k $
$ m\le k $
$ 2^m(y+1)=(x+1)(y+1)=2^m(1+2^{k-m}) $
per cui
$ y+1=1+2^{k-m} -> y=2^{k-m}=\frac {2^k}{2^m}=\frac{x+y}{xy+1} $
Dalla quale mi pare si giunga ad $ y=1 $, che a sua volta porta a
$ (x+1)^2=2^z $
per cui
$ z=2 $
$ x=y=1 $
$ x+y=2^m $
$ xy+1=2^k $
sommo membro a membro
$ (x+1)(y+1)=2^m+2^k $
$ m\le k $
$ 2^m(y+1)=(x+1)(y+1)=2^m(1+2^{k-m}) $
per cui
$ y+1=1+2^{k-m} -> y=2^{k-m}=\frac {2^k}{2^m}=\frac{x+y}{xy+1} $
Dalla quale mi pare si giunga ad $ y=1 $, che a sua volta porta a
$ (x+1)^2=2^z $
per cui
$ z=2 $
$ x=y=1 $
-
Troleito br00tal
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- Iscritto il: 16 mag 2012, 22:25
Re: $(x+y)(xy+1)=2^z$
Ma ad esempio $(3+5)(3 \cdot 5 +1)=2^7$ funge e non è compresa!
Re: $(x+y)(xy+1)=2^z$
Ho fatto un casino confondendo $ x+1 $ con $ x+y $ 
Re: $(x+y)(xy+1)=2^z$
Le terne sono tutte e sole quelle della forma $(2^n\pm1,\ 2^n\mp1, \ 3n+1)$ con $n\in\mathbb N$
Infatti si verifica che $\displaystyle\left(2^n\pm1+ 2^n\mp1\right)\left(\left(2^n\pm1\right)\left(2^n\mp1\right)+1\right)=2^{n+1}\cdot2^{2n}=2^{3n+1}$.
Ora, bisogna dimostrare che non ce ne sono altre.
Come Gi. noto che deve essere $$\begin{cases}x+y=2^a & (1)\\xy+1=2^b & (2)\end{cases}$$ con $a+b=z$.
A parte $x=y=1$ vale $xy+1>x+y$, ovvero $b>a$.
Sommando $(1)$ e $(2)$ ottengo $$\displaystyle(x+1)(y+1)=2^a\left(2^{b-a}+1\right)$$ e sottraendo $$\displaystyle(x-1)(y-1)=2^a\left(2^{b-a}-1\right)$$
Noto quindi che $$\upsilon_2\left((x+1)(y+1)\right)=\upsilon_2\left((x-1)(y-1)\right)=a$$
Sia ora WLOG $\upsilon_2(x-1)=k>1$. Allora $\upsilon_2(x+1)=1$, e di conseguenza $\upsilon_2(y-1)=a-k$ e $\upsilon_2(y+1)=a-1$; ma uno tra questi ultimi due deve valere 1, ed è $a-k$ essendo il minore tra i due. Dunque $k=a-1$.
Ricapitolando $\upsilon_2(x-1)=\upsilon_2(y+1)=a-1$ e $\upsilon_2(x+1)=\upsilon_2(y-1)=1$.
Da qui si ricava con due conti $$\begin{cases}x=2^{a-1}\cdot p+1\\y=2^{a-1}\cdot q-1\end{cases}$$ con $p,q$ interi positivi dispari.
Andando a sostituire questi valori nella $(1)$ si ottiene $p+q=2$, ovvero $p=q=1$.
Abbiamo quindi $$\begin{cases}x=2^{a-1}+1\\y=2^{a-1}-1\end{cases}$$ che andando a sostituire e scambiando $x$ e $y$ danno tutte le terne di sopra.
Infatti si verifica che $\displaystyle\left(2^n\pm1+ 2^n\mp1\right)\left(\left(2^n\pm1\right)\left(2^n\mp1\right)+1\right)=2^{n+1}\cdot2^{2n}=2^{3n+1}$.
Ora, bisogna dimostrare che non ce ne sono altre.
Come Gi. noto che deve essere $$\begin{cases}x+y=2^a & (1)\\xy+1=2^b & (2)\end{cases}$$ con $a+b=z$.
A parte $x=y=1$ vale $xy+1>x+y$, ovvero $b>a$.
Sommando $(1)$ e $(2)$ ottengo $$\displaystyle(x+1)(y+1)=2^a\left(2^{b-a}+1\right)$$ e sottraendo $$\displaystyle(x-1)(y-1)=2^a\left(2^{b-a}-1\right)$$
Noto quindi che $$\upsilon_2\left((x+1)(y+1)\right)=\upsilon_2\left((x-1)(y-1)\right)=a$$
Sia ora WLOG $\upsilon_2(x-1)=k>1$. Allora $\upsilon_2(x+1)=1$, e di conseguenza $\upsilon_2(y-1)=a-k$ e $\upsilon_2(y+1)=a-1$; ma uno tra questi ultimi due deve valere 1, ed è $a-k$ essendo il minore tra i due. Dunque $k=a-1$.
Ricapitolando $\upsilon_2(x-1)=\upsilon_2(y+1)=a-1$ e $\upsilon_2(x+1)=\upsilon_2(y-1)=1$.
Da qui si ricava con due conti $$\begin{cases}x=2^{a-1}\cdot p+1\\y=2^{a-1}\cdot q-1\end{cases}$$ con $p,q$ interi positivi dispari.
Andando a sostituire questi valori nella $(1)$ si ottiene $p+q=2$, ovvero $p=q=1$.
Abbiamo quindi $$\begin{cases}x=2^{a-1}+1\\y=2^{a-1}-1\end{cases}$$ che andando a sostituire e scambiando $x$ e $y$ danno tutte le terne di sopra.
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)
Re: $(x+y)(xy+1)=2^z$
scusa Drago ma non funziona anche per $ z=6 $ e $ x=7 $ e $ y=1 $ e più in generale per $ x=2^n-1 $ e $ y=1 $ e $ z=2n $??
Re: $(x+y)(xy+1)=2^z$
Ok, come al solito ho tralasciato il caso banale... 
Quando uno dei due è 1 l'unica soluzione è ovviamente quella che dici tu...
Quando uno dei due è 1 l'unica soluzione è ovviamente quella che dici tu...
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