$x^2+32x=y^3$

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
Rispondi
Avatar utente
jordan
Messaggi: 3988
Iscritto il: 02 feb 2007, 21:19
Località: Pescara
Contatta:

$x^2+32x=y^3$

Messaggio da jordan »

Trovare tutti gli interi $x,y$ tali che \[ x^2+32x=y^3 \]

Ps. Nella mia soluzione ho dovuto utilizzare il fatto che la curva $X^3+Y^3=2^k$ non ha soluzioni razionali per $k \in \mathbb{N}$: so solo che è stato dimostrato da Eulero per $k\in \{0,1,2\}$ e poi da Dirichlet per il caso generale, ma non ho idea di come si prova.. qualcuno ha idee migliori?
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Gi.
Messaggi: 154
Iscritto il: 18 dic 2012, 16:45

Re: $x^2+32x=y^3$

Messaggio da Gi. »

Dato il tuo ps. immagino di star per dire tante fesserie.
Possiamo riscrivere come:

$ x(x+32)=y^3 $

quindi sia $ x $ che $ x+32 $ sono cubi perfetti

$ x=k^3 $
$ x+32=t^3 $

sottraggo membro a membro la seconda dalla prima

$ t^3-k^3=32 $
$ (t-k)(t^2+tk+k^2)=32 $

Adesso distribuendo i fattori, tenendo conto che il secondo fattore è sempre positivo e maggiore del primo, si dovrebbe risolvere.
Triarii
Messaggi: 464
Iscritto il: 18 nov 2010, 21:14

Re: $x^2+32x=y^3$

Messaggio da Triarii »

Non è detto che in un prodotto i fattori debbano essere cubi perfetti: ad esempio $ 2*5^2 $ e $ 5*2^2 $ moltiplicati fra loro danno un cubo perfetto , ma nessuno di essi è un cubo perfetto :)
"We' Inge!"
LTE4LYF
Avatar utente
jordan
Messaggi: 3988
Iscritto il: 02 feb 2007, 21:19
Località: Pescara
Contatta:

Re: $x^2+32x=y^3$

Messaggio da jordan »

Quello che hai scritto sopra, difatti, risolve il solo caso $x$ dispari (perchè?)
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Tommaso7
Messaggi: 9
Iscritto il: 08 mar 2013, 23:10

Re: $x^2+32x=y^3$

Messaggio da Tommaso7 »

$ x^2+32x=y^3 $
$ x^3+x^2+32x=x^3+y^3 $
$ x(x^2+x+32)=(x+y)(x^2+y^2-xy) $ da quì si deduce che $ y=kx $
$ x(x^2+x+32)=x^3(1+k)(1+k^2-k) $
$ x^2+x+32=x^2(1+k^3) $
$ x^2k^3-x-32=0 $

$ x=\displaystyle\frac{1+-\sqrt{1+128k^3}}{2k^3} $

$ 1+128k^3=n^2 $
$ 128k^3=(n-1)(n+1) $

abbiamo due casi

1) $ k=2h $ $ n=2z+1 $
$ 128*8h^3=(2z)(2(z+1)) $
$ 128*2h^3=z(z+1) $ ma $ 128*2h^3 $ non può essere essere prodotto di due interi consecutivi (basta provare con $ h=1,3,5 $)

2) $ k=2h+1 $ $ n=2z+1 $
$ 128(2h+1)^3=4z(z+1) $
$ 32(2h+1)^3=z(z+1) $ ma anche quì $ 32(2h+1)^3 $ non può essere prodotto di due interi consecutivi (basta provare con $ h=0,1,2 $)

spero sia giusto!
Avatar utente
<enigma>
Messaggi: 876
Iscritto il: 24 set 2009, 16:44

Curve ellittiche

Messaggio da <enigma> »

Messo in un'altra prospettiva, la trasformazione $x \mapsto x-16$ manda l'equazione nella curva di Mordell $x^2=y^3-224$. A questo punto o si va a vedere le tavole, o si dice che, per il teorema di Nagell-Lutz, $x$ è un divisore quadrato di $27 \cdot 224$ e si provano i casi a mano.
"Quello lì pubblica come un riccio!" (G.)
"Questo puoi mostrarlo o assumendo abc o assumendo GRH+BSD, vedi tu cos'è meno peggio..." (cit.)
Avatar utente
jordan
Messaggi: 3988
Iscritto il: 02 feb 2007, 21:19
Località: Pescara
Contatta:

Re: $x^2+32x=y^3$

Messaggio da jordan »

Tommaso7 ha scritto:...$ x(x^2+x+32)=(x+y)(x^2+y^2-xy) $ da quì si deduce che $ y=kx $
No, trova l'errore :wink:

@enigma: ma questo è barare..
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Tommaso7
Messaggi: 9
Iscritto il: 08 mar 2013, 23:10

Re: $x^2+32x=y^3$

Messaggio da Tommaso7 »

jordan ha scritto:
Tommaso7 ha scritto:...$ x(x^2+x+32)=(x+y)(x^2+y^2-xy) $ da quì si deduce che $ y=kx $
No, trova l'errore :wink:

hai ragione che mongolo :wink:
Avatar utente
FrancescoVeneziano
Site Admin
Messaggi: 606
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Genova
Contatta:

Re: Curve ellittiche

Messaggio da FrancescoVeneziano »

<enigma> ha scritto:... o si dice che, per il teorema di Nagell-Lutz, $x$ è un divisore quadrato di $27 \cdot 224$ e si provano i casi a mano.
Mhh, veramente con quella sostituzione va in $x^2=y^3+256$, che a sua volta va in $x^2=y^3+4$, mi sembra, ma non ha importanza. Piuttosto mi chiedo, senza guardare le tavole, per concludere con Nagell-Lutz devi sapere anche che il rango è 0, che non mi sembra immediato.
La 2-discesa "classica" porta a studiare la risolubilità in $\mathbb{Q}(\sqrt{-3},\sqrt[3]{4})$ di 8 equazioni quadratiche, che sono probabilmente semplici, ma non ho provato a farlo. Forse, come a volte capita, si può fare una discesa migliore usando la moltiplicazione complessa per la radice cubica di 1, invece che la "solita" moltiplicazione per 2. Oppure mi sta sfuggendo qualche motivo ovvio per cui il rango deve essere 0?
Wir müssen wissen. Wir werden wissen.
Gi.
Messaggi: 154
Iscritto il: 18 dic 2012, 16:45

Re: $x^2+32x=y^3$

Messaggio da Gi. »

jordan ha scritto:Quello che hai scritto sopra, difatti, risolve il solo caso $x$ dispari (perchè?)
Vista la mia inettitudine nella risoluzione di diofantee sto forzando me stesso per capire come si risolvano (ottenendo qualche gradevole risultato), ordunque rispolvero qualche vecchio problema.

$ x^2+32x=y^3 $

$ x(x+32)=y^3 $

Se $ gcd(x,x+32)=1 $, allora potrei concludere che sia $ x $ che $ x+32 $ devono essere cubi perfetti (infatti nella loro PPF non vi sono fattori comuni, quindi ogni esponente deve essere elevato al cubo affinché il loro prodotto sia a sua volta un cubo). Il caso con $ x $ pari è palesemente privo di ogni tipo di speranza in quanto detto (vi è un fattore 2 in entrambi).

$ x $ dispari, pongo $ x=2x_1+1 $

Voglio analizzare $ gcd(2x_1+1,2x_1+1+32) $.
E' noto che $ gcd(a,a+b)=gcd(a,b) $, quindi $ gcd(2x_1+1,2x_1+1+32)=gcd(2x_1+1,32) $, ma $ v_2(2_x+1)=0 $ e 32 contiene solo fattori 2 nella sua PPF, da cui la tesi.

Da qui posso procedere come fatto nel primo post e trovare le soluzioni con $ x $ dispari.
Il caso con $ x $ pari non credo sia alla mia portata.
Avatar utente
aetwaf
Messaggi: 41
Iscritto il: 07 ott 2013, 17:54
Località: Torino

Re: $x^2+32x=y^3$

Messaggio da aetwaf »

Non possiamo dividere il problema nei seguenti sottocasi?
1)$x=n^3$
2)$x=x_1^3n^2$
3)$x=x_1^3n$
4)$x=x_1^3mn^2$
Dal primo caso otteniamo $n^3+32=k^3$, impossibile e facile da dimostrare anche solo per tentativi ($4^3-3^3>32$ e $3^3<32$).
Dal secondo caso otteniamo $x_1^3n^2+32=k^3n$ cioè $32=n(k^3-x_1^3n)$ quindi $n=2^p$ e $k^3-x_1^32^p=2^q$ ma con $p<5$ è impossibile.
Dal terzo caso otteniamo $x_1^3n+32=k^3n^2$ cioè $32=n(k^3n-x_1^3)$ da cui $n=2^p$ e $k^32^p-x_1^3=2^q$ che è impossibile con $p<5$.
Dal quarto caso otteniamo $x_1^3mn^2+32=k^3m^2n$ cioè $32=mn(k^3m-x_1^3n)$ quindi $m=2^p$ e $n=2^q$. Se $p>q$ avremo $32=2^{p+q}(2^p(k^32^{q-p}-x_1^3))$, impossibile con $p,q<5$. Se $p>q$ avremo $32=2^{p+q}(2^q(k^3-x_1^32^{p-q}))$, impossibile con $p,q<5$. I casi dell'inizio dovrebbero essere gli unici possibili poichè ogni fattore $x_1^3$ di $x$ può essere semplificato da $x$ poichè dovrà essere necessariamente fattore anche di $y^3$. Non sono sicurissimo che i casi che ho definito impossibili siano effettivamente tutti impossibili.
Non so se è corretto, ditelo voi.
Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema che non può essera contenuta nel margine troppo stretto della pagina
Rispondi