Numero residui quadratici mod $p^2$

[jordan]

Sia $p$ un primo dispari. Mostrare che il numero di interi $y \in \{1,2,\ldots,p^2\}$ tali che esiste un intero $x$ che verifica $p^2 \mid x^2-y$ è esattamente $$\frac{1}{8}\left((2p-1)^2+7\right).$$


Ps. Dovrebbe essere un fatto stranoto, ma chi lo conosce a vista?

[aetwaf]

Notiamo che possiamo esprimere quella relaziome come $ y=x^2_{(p^2)} $ quindi dobbiamo trovare tutti i possibili resti dei numeri del tipo $ x^2 $ modulo $ p^2 $. A parte il caso $ x=kp $ abbiamo che 2 numeri elevati al quadrato sono uguali modulo p se e solo se sono del tipo $ n $ e $ p^2-n $, infatti se $ n^2=m^2_{(p^2)} $ avremmo $p^2|(n-m)(n+m)$ quindi o $ p|n, m $ o $ n=m $ o $ m=p^2-n $. Quindi i resti che ci interessano saranno tutti menl i multipli di p diviso 2 perchè sono a coppie più p considerato una volta cioè $ \frac {p^2-p} 2 +1 $ che corrisponde alla formula data.

[jordan]

Come ridicolizzare la mia soluzione :/ Giusta!