Determinare tutte le quaterne di interi $a,b,c,d$ tali che
$a^2+b^2+c^2=7d^2$
165 - $a^2+b^2+c^2 = 7d^2$
Re: 165 - $a^2+b^2+c^2 = 7d^2$
Considerato che $\text{gcd}^2(a,b,c) \mid rd^2 \implies \text{gcd}(a,b,c) \mid d$ per ogni $r$ libero da quadrati (e in particolare per $r=7$), se $(a,b,c,d)$ è soluzione allora lo è anche $\left(\frac{a}{\text{gcd}(a,b,c)},\frac{b}{\text{gcd}(a,b,c)},\frac{c}{\text{gcd}(a,b,c)},\frac{d}{\text{gcd}(a,b,c)}\right)$, per cui supponiamo wlog $\text{gcd}(a,b,c)=1$. Ora, se $d$ è pari, l'equazione è assurdo modulo $4$. Se $d$ è dispari, l'equazione è assurdo modulo $8$. Si conclude chel'unica soluzione è $(0,0,0,0)$. []
In particolare, si ha la stessa conclusione per l'equazione $a^2+b^2+c^2=rd^2$ con $r$ intero positivo libro da quadrati tale che $8 \mid r+1$.
In particolare, si ha la stessa conclusione per l'equazione $a^2+b^2+c^2=rd^2$ con $r$ intero positivo libro da quadrati tale che $8 \mid r+1$.
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Re: 165 - $a^2+b^2+c^2 = 7d^2$
LOL 
Vabbè dai, ho ritardato le staffette toste di un turno!
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Re: 165 - $a^2+b^2+c^2 = 7d^2$
In verità penso sarebbe meglio se fossero tutti così 
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