Tratto da una gara a squadre

[marconato]

Valutare la cifra delle unità di $$ \frac{5^{2014}!}{10^{v_5(5^{2014}!)}}$$

Edit ho cambiato 2013 com 2014

[Half95]

scusate l' ignoranza ma $v_5$ è una variabile p-adica? e se sì come si calcola ad esempio in questo caso con un numero così grande?

[NoAnni]

scusate l' ignoranza ma $v_5$ è una variabile p-adica? e se sì come si calcola ad esempio in questo caso con un numero così grande?

È una valutazione 5-adica, ovvero il numero di fattori 5 che stanno in un numero.
In questo caso serve per eliminare tutti gli 0 finali. Insomma ti sta chiedendo quale sia la prima cifra da destra che non è 0

[Draco76]

scusate l' ignoranza ma $v_5$ è una variabile p-adica?

Si, quella è una variabile p-adica (in questo particolare caso 5-adica). Per calcolarla puoi ricorrere a vari metodi:
1) Comprarti un computer parecchio potente e aspettare un paio d'anni che ti calcoli il risultato.
2) Disegnare pentacoli per evocare esseri soprannaturali (Es: <eniCCCCma> che ti svelerà che il problema è solo un caso particolare di un notissimo teorema).
3) Derivare, il metodo migliore e soprattutto alla portata di ognuno.
4) Piangere.
5) Usare furberie non calcolandolo direttamente.


Detto ciò, scrivo quello che sono riuscito a fare prima di mandare in overflow il mio ordinateur: $ 5^{2014}= 531604603040601603733898650804374529776556624920983191933806959808245169275284\\ 8763296349335204948657876931205552645947653933290021965537307789789321608298865418402\\ 4916444685781541193380065365135791373069714186689395941388532537984700809742684415897\\ 9994890916352224088968267281987166539968495438956186408660224081187290597943369473313\\ 3396588004689309488676997766179972885539951421080716595583973448099266911287641401434\\ 9882733112611490912320660805431371747650185497671610845654703788981833758853571360031\\ 4683399990429211568892108145893881049986730934257361844646863473546751962933098023015\\ 6985957944758525005577559493702993146807225361802167453489706384599072968062876158429\\ 9070127946783746580526431064928326138514820888316973611171168474942755862633980557863\\ 0699762906797037980284964864632785938553131566422146875676486688695169228370793235533\\ 3236655329299712264094434683517280694022189893587667362650855838281842572281093171232\\ 8113664062202053552954230896117753155454294333864454305779911453540862223119749234945\\ 8449466077815920180152798439345231201104140218002645447964974984047319170986798099242\\ 1153643751017781167243483858922176229514871642512868026698260541803296655591135248452\\ 4448608435304520354484930448218434017434446541413485879194085124743011875968079693504\\ 9702166265892335689894128138440400404183268213733198594210535982617054494186973052077\\ 9719379573257688476051185944015742279589176177978515625 $.

Chiamo il risultato dell'espressione $\frac{5^{2014}!}{10^{v_5(5^{2014}!)}}=\sqrt[n^*_{5m}+7i]{\Omega^{''}_{23k^2+19j+6 \pmod{37}}}$.

Noto che ogni primo $p$ che soddisfa le seguenti condizioni: $p \equiv 1 \pmod{4}$; $p\leq 42$ e $5\mid p$ non è presente in $\sqrt[n^*_{5m}+7i]{\Omega^{''}_{23k^2+19j+6 \pmod{37}}}$: infatti tutti i fattori $p$ sono presenti nella stessa quantità al denominatore grazie alla potenza di $10$. Nel prodotto rimangono al numeratore tutti i fattori primi diversi da $p$ di:
$531604603040601603733898650804374529776556624920983191933806959808245169275284\\
8763296349335204948657876931205552645947653933290021965537307789789321608298865418402\\
4916444685781541193380065365135791373069714186689395941388532537984700809742684415897\\
9994890916352224088968267281987166539968495438956186408660224081187290597943369473313\\
3396588004689309488676997766179972885539951421080716595583973448099266911287641401434\\
9882733112611490912320660805431371747650185497671610845654703788981833758853571360031\\
4683399990429211568892108145893881049986730934257361844646863473546751962933098023015\\
6985957944758525005577559493702993146807225361802167453489706384599072968062876158429\\
9070127946783746580526431064928326138514820888316973611171168474942755862633980557863\\
0699762906797037980284964864632785938553131566422146875676486688695169228370793235533\\
3236655329299712264094434683517280694022189893587667362650855838281842572281093171232\\
8113664062202053552954230896117753155454294333864454305779911453540862223119749234945\\
8449466077815920180152798439345231201104140218002645447964974984047319170986798099242\\
1153643751017781167243483858922176229514871642512868026698260541803296655591135248452\\
4448608435304520354484930448218434017434446541413485879194085124743011875968079693504\\
9702166265892335689894128138440400404183268213733198594210535982617054494186973052077\\
9719379573257688476051185944015742279589176177978515625!$
Mentre al denominatore la stessa quantità di fattori $2$ dei fattori $p$ mancanti. Dunque $\sqrt[n^*_{5m}+7i]{\Omega^{''}_{23k^2+19j+6 \pmod{37}}}=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot (1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot6\cdot7\cdot8\cdot9)^{\frac{5^{2014}!-5}{10}}}{2^{v_5(5^{2014}!)}}\equiv\frac{4\cdot 6^{\frac{5^{2014}!-5}{10}}}{2^{v_5(5^{2014}!)}} \pmod{10}$.
Siccome $6$ elevato a qualsiasi potenza è congruo a $6$ modulo $10$, $\sqrt[n^*_{5m}+7i]{\Omega^{''}_{23k^2+19j+6 \pmod{37}}}\equiv \frac{4}{2^{v_5(5^{2014}!)}}\pmod{10}$.
Essendo la potenza di $2$ maggiore della sua base, i $4$ si semplificano e il risultato è una frazione; ciò è impossibile, dunque bisogna arrotondare all'intero più vicino: $1$. (Non può essere $0$ per come ha detto NoAnni)

[Gottinger95]

@Draco76: non ho capito se hai usato davvero il computer o quei numeri sono un troll xD EDIT: ok, mi sono fatto un'idea leggendo "per ogni primo che soddisfa [...] \(5 \mid p\)"

Visto che non ci piacciono le cose sporche delle gare a squadre, posto la soluzione generale per valutare
\[ \frac{ p^n!}{(2p)^s } \pmod{2p} \]
dove \(p\) è un primo dispari, \(n \in \mathbb{N}_0\), e \(s= V_p(p^n!) \).

Lemmino. Vale \( (p-1)! \equiv (p+1) \cdot \ldots \cdot (2p-1) \equiv p-1 \pmod{2p} \). Il lemma segue dal teorema cinese del resto applicato a:
\[ \begin{cases} (p-1)! \equiv (p+1) \cdot \ldots \cdot (2p-1) & \equiv & -1 \pmod{p} \ \ \ \mbox{ Teorema di Wilson } \\ (p-1)! \equiv (p+1) \cdot \ldots \cdot (2p-1) & \equiv & 0 \pmod{2} \end{cases} \]
Generalizzazione.
La formula di Polignac (sua? boh) nel caso di una potenza di un primo
\[ V_p(p^k!) = \sum_{i=0}^{k-1} p^i \]
segue questo principio:
1. Conto quanti numeri divisibili per \(p\) ci sono in \(1, \ldots, k\) e li aggiungo al mio totale;
2. Scarto i numeri non divisibili per \(p\) e divido i rimanenti per \(p\);
3. Ripeto il procedimento dal punto 1 con i numeri che mi rimangono.
La possiamo raffinare e piegare ai nostri scopi calcolando il fattoriale in modo "furbo" con lo stesso nucleo ricorsivo:
1. Quando incontro un numero \(pj\) (divisibile per \(p\)), in cuor mio so che il fattore \(p\) si semplificherà con \(2p\), lasciando un \(\frac{1}{2}\).
Richiamando il lemma, devo moltiplicare perciò per \( \frac{1}{2}T_j \equiv \frac{(p-1)}{2} \), dove \(T_j =\displaystyle \prod_{p(j-1) < m < pj} m\).
2. Scarto i numeri non divisibili per \(p\) e divido i rimanenti per \(p\);
3. Ripeto il procedimento dal punto 1 con i numeri che mi rimangono.
Sulla scia di Polignac , vale dunque:
\[ \frac{ p^n!}{(2p)^s } \equiv \prod_{i=0}^{n-1} \left ( \frac{p-1}{2} \right )^{ p^i} \pmod{2p} \]
Visto che gli esponenti si valutano modulo \(\varphi(2p) = p-1\), gli esponenti sono tutti equivalenti a 1, donc:
\[ \frac{p^n!}{(2p)^s} \equiv \left ( \frac{p-1}{2} \right )^n \pmod{2p} \]
che è la formula finale.
Caso particolare delle sporche gare.
Per \(p=5, n=2014\), otteniamo \( 2^{2014} \equiv 4 \pmod{10} \).

[xXStephXx]

Avrà usato wolframapha! http://www.wolframalpha.com/input/?i=5%5E2014

[Drago96]

@Draco76: non ho capito se hai usato davvero il computer o quei numeri sono un troll xD

Anch'io so calcolarlo! (tra l'altro mi accorgo ora che WA ci dà anche tutte le informazioni indispensabili su un fattoriale! )

Comunque bella la tua generalizzazione!

[Gottinger95]

Rilancio: viewtopic.php?f=15&t=18628