Generalizzando Wilson - parte 3

[jordan]

Own. Sia $p\ge 3$ un primo fissato, ed $n$ un intero positivo minore di $p$. Dimostrare che la somma dei tutti i prodotti di $n$ elementi distinti in $\{1,2,\ldots,p^2\}$ è divisibile per $p$.

Parte 1 qui
Parte 2 qui

[Gottinger95]

Intanto una dimostrazione stuzzichina per \(n\) dispari. Il caso pari ancora nulla
Consideriamo il polinomio:
\[ r(x) = \prod_{k=1}^{p^2} (1+kx) \]
Allora \( [x^n] r(x) \) è esattamente ciò che cerchiamo. Visto che ci interessa solo il coefficiente \(\pmod{p}\), valutiamo \(r(x) \ \pmod{p} \):
\[ r(x) = \prod_{k=1}^{p^2} (1+kx) \equiv \prod_{k=1}^{p} (1+kx)^p \equiv \prod_{k=1}^{p-1} (1+kx) \pmod{p} \]
Adesso c'è il trucco. Accoppiamo ogni parentesi \( (1+kx) \) con la parentesi \( (1+(p-k)x) \):
\[ r(x) \equiv \prod_{k=1}^{p-1} (1+kx) \equiv \prod_{k=1}^{(p-1)/2} (1+kx)(1-kx) \equiv \prod_{k=1}^{(p-1)/2} (1-k^2x^2) = q(x^2) \pmod{p} \]
per qualche polinomio \(q(\cdot)\). Ma allora \(r(x)\) è un polinomio pari modulo \(p\), dunque tutti i coefficienti degli \(x^n\) con \(n\) dispari sono \(\equiv 0\) modulo \(p\).

[jordan]

Per il caso $n$ dispari, molto bene!

[Gottinger95]

Ok, riguardiamo un attimo \(r(x)\) nella forma
\[ r(x) = (1+x)(1+2x) \cdot \ldots \cdot (1+(p-1)x) \]
Per ogni \(y \in [1, p-1] \), sia \( y': \ \ y y' \equiv -1 \) (c'è sempre? Si, dai). Allora
\[ r(y) = ... \cdot (1+y' y) \cdot ... \equiv 0 \pmod{p} \]
Invece \(r(0) = 1\). C'è un altro polinomio che si comporta allo stesso modo, ossia \( g(x) = 1-x^{p-1} \). Inoltre \(r(x), g(x) \) hanno entrambi grado \(p-1\) e sono coincidenti su \(p\) punti (modulo \(p\), si intende). Perciò \(r(x) \equiv g(x)\). Ma allora \( [x^n]r(x) \equiv [x^n]g(x) \equiv 0 \pmod{p} \) per ogni \( 0 < n < p-1\).
Però a me viene che per \(n=p-1\) quella quantità lì è -1 (che di fondo è Wilson, effettivamente). Ho fatto qualche passaggio illecito?

[jordan]

Nope, perfetto

[Gottinger95]

Altra dimostrazione, che ricalca quella di Wilson (e forse è un po' più lineare). Sia \( S= \{1, \ldots, p^2 \}\) e sia \(S_n = \{ \ \ \{a_1, \ldots, a_n\}: \ \ \forall i,j \ \ a_i \neq a_j, \ \ \forall i \ \ a_i \in S\}\). Infine sia \(g\) un generatore \(\pmod{p}\). Consideriamo
\[ \sigma_n = \sum_{ R \in S_n} \prod_{x \in R} x\]
Visto che la funzione \(\rho(x) = gx\) è una permutazione su \(\{0, \ldots, p-1\}\), deve valere
\[ g^n \sigma_n = \sum_{ R \in S_n} \prod_{x \in R} gx \equiv \sum_{ R \in S_n} \prod_{x \in R} x = \sigma_n \pmod{p} \]
da cui \( (g^n-1) \sigma_n \equiv 0 \pmod{p} \). Se \(0 < n < p-1\), per definizione \(g^n \not \equiv 1 \pmod{p}\). Perciò \(\sigma_n \equiv 0 \pmod{p} \).