Somma e divisori

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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mat94
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Somma e divisori

Messaggio da mat94 » 03 mar 2015, 18:21

Siano $a_1,...,a_n$ e $b_1,..,b_m$ interi positivi tali che per ogni intero positivo k si ha che il numero di $a_i$ divisibili per k è minore o uguale al numero di $b_j$ divisibili per k. Mostrare che $\sum a_i \leq \sum b_j$.

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Ratman98
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Re: Somma e divisori

Messaggio da Ratman98 » 04 mar 2015, 23:10

Non scrivo la soluzione in maniera formale, perché senza LaTeX risulterebbe incomprensibile. Tuttavia, se ho ben ragionato, basta notare che ciascun 'a' è un 'k' e che quindi per ciascun 'a' esiste almeno un 'b' al minimo uguale ad 'a'. 8)
Ultima modifica di Ratman98 il 05 mar 2015, 13:18, modificato 1 volta in totale.

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Re: Somma e divisori

Messaggio da Drago96 » 04 mar 2015, 23:29

Penso che l'idea sia circa quella, ma ci sono dettagli fastidiosi da sistemare che si rivelano in realtà ardui...
Se ad $a_i$ associassi un $b_h$ e ad un altro $a_j$ associassi lo stesso $b_k$, ad esempio?
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Re: Somma e divisori

Messaggio da Ratman98 » 05 mar 2015, 13:16

Credo sia utile osservare che il numero di 'b' è maggiore o uguale al numero di 'a', poiché 1 è divisore comune di tutti gli 'a'. Per il resto, mi occorre tempo :lol:

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Re: Somma e divisori

Messaggio da Ratman98 » 07 mar 2015, 18:43

Scelgo un caso particolare, ma esemplare, per le ovvie difficoltà a scrivere senza LaTeX. Ammettiamo che sia: b=a*h=a**k=a***m ; dove gli asterischi servono ad identificare 'a' distinti tra loro . d=(a*,a**,a***) ≥ 1 , dove con d indico il massimo comune divisore. Poiché il massimo comune divisore divide i tre 'a', ci devono essere oltre al 'b' di prima, altri due 'b' al minimo uguali a d nella seconda somma, poiché il numero totale di 'b' deve essere maggiore o uguale al numero di 'a'. Ora mi piacerebbe dimostrare che a*+a**+a***≤b+ 2d o meglio che 3(a*+a**+a***)≤a*h+a**k+a***m+6d. Questa disugualianza mi pare sempre vera, ma qui mi fermo. Mi scuso per l'aver lasciato tutto nell'indefinito e nell'aleatorio(tra l'altro credo di essere lontano dalla soluzione). Confido nella vostra pazienza :lol:

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Re: Somma e divisori

Messaggio da Ratman98 » 10 mar 2015, 17:21

Viste le pecche colossali del mio ultimo post, per ora rispondo almeno al caso prospettato da drago96.Se un B è uguale al prodotto di n 'a' distinti, questo prodotto sarà sempre maggiore della somma di questi 'a', a meno che uno o più di questi 'a' siano uguali ad 1. Ma in tal caso possiamo associare alla somma di questi 'a', B insieme con (n-1) 'b' non necessariamente multipli degli altri 'a'(quelli che non dividono B) e maggiori o uguali ad 1(che esistono per la considerazione fatta due post fa). La prima quantità risulta sempre minore o uguale alla seconda. Se sono stato poco chiaro, ditelo apertamente. Non vorrei che a causa mia il topic di mat94 rimanesse"appeso".

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Re: Somma e divisori

Messaggio da Drago96 » 20 mar 2015, 18:19

Chiederei un hint, anche perché mi sono fissato con il polinomio $\sum x^{b_i}-\sum x^{a_i}$ cavandone fuori ben poco, e tutte le altre idee mi sembrano meno interessanti...
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Re: Somma e divisori

Messaggio da mat94 » 20 mar 2015, 19:09

Testo nascosto:
prova a usare i polinomi ciclotomici

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Re: Somma e divisori

Messaggio da Drago96 » 21 mar 2015, 14:42

WOW! :D
Associamo alla prima sequenza il polinomio $\displaystyle A(x)=\prod(x^{a_i}-1)=(x^{a_1}-1)(x^{a_2}-1)\cdots(x^{a_n}-1)$ e alla seconda allo stesso modo il polinomio $\displaystyle B(x)=\prod(x^{b_i}-1)=(x^{b_1}-1)(x^{b_2}-1)\cdots(x^{b_m}-1)$.
Ora, sappiamo che esistono dei meravigliosi polinomi $\Phi_i(x)$ a coefficienti interi tali che $x^n-1=\prod_{d\mid n}\Phi_d(x)$ per ogni $n$.
Chiamiano $\alpha_i$ il numero di $a_j$ multipli di $i$, e $\beta_i$ il numero di $b_j$ multipli di $i$; l'ipotesi è che $\beta_i\ge\alpha_i$ per ogni $i$ (da $1$ al massimo delle due sequenze).
Bene, adesso la magia...
$\displaystyle A(x)=\prod_{i=1}^n(x^{a_i}-1)=\prod_{i=1}^n\prod_{d\mid i}\Phi_d(x)=\prod_{d\ge1}\Phi_d(x)^{\alpha_d}$ perché fissato un $d$, il polinomio $\Phi_d(x)$ compare nella fattorizzazione di tutti e soli gli $x^{a_i}-1$ con $d\mid a_i$, che sono esattamente $\alpha_i$
Similmente, vale $\displaystyle B(x)=\prod_{d\ge1}\Phi_d(x)^{\beta_d}$
Consideriamo ora $\displaystyle\frac{B(x)}{A(x)}=\prod_{d\ge1}\Phi_d(x)^{\beta_d-\alpha_d}$; per ipotesi ogni esponente è non negativo, quindi quella frazione algebrica è in realtà un polinomio vero e proprio, che quindi ha un suo grado $\ge0$ (potrebbe essere il polinomio costante $1$ se le due sequenze sono uguali).
Ma allora deve essere anche $\deg B\ge\deg A$; chi sono però i gradi? Dalla definizione abbiamo proprio $\deg A=\sum a_i$ e $\deg B=\sum b_i$, e quindi abbiamo finito. :)

Davevvero interessante questo problema! ;)
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Re: Somma e divisori

Messaggio da mat94 » 22 mar 2015, 11:04

Esatto! E' quella la soluzione che ti dicevo ed è un problema molto interessante :D

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