TERNA

[PIELEO13]

Determinare tutte le terne (p, n, a), con p che è un numero primo e n,a interi positivi tali che:

$ (2p)^n +1 = a^3 $

[erFuricksen]

Se $ n \ne 1 $ chiamo $ 2p = b $ e scrivo $ a^3-b^n=1 $ che per il teorema di Mihailescu non ha soluzioni.
Se $ n=1 $ allora $ 2p = a^3 - 1 $ da cui si evince che $ a \equiv 1[2] $
$ (a-1)(a^2+a+1)=2p $ e sicuramente (siccome si nota facilmente che $ a>1 $ dall'equazione di partenza) posso dire che $ 2 \mid a-1 $.
Inoltre o $ p \mid a-1 $ o $ p \mid a^2+a+1 $, ma se fosse vera la prima allora ne conseguirebbe che il secondo fattore è uguale a 1, il che è impossibile; perciò otteniamo che $ a-1=2 $ quindi $ a=3 $ e che $ 3^2+3+1=p $ quindi $ p=13 $

[gpzes]

Se $ n \ne 1 $ chiamo $ 2p = b $ e scrivo $ a^3-b^n=1 $ che per il teorema di Mihailescu non ha soluzioni.
Se $ n=1 $ allora $ 2p = a^3 - 1 $ da cui si evince che $ a \equiv 1[2] $
$ (a-1)(a^2+a+1)=2p $ e sicuramente (siccome si nota facilmente che $ a>1 $ dall'equazione di partenza) posso dire che $ 2 \mid a-1 $.
Inoltre o $ p \mid a-1 $ o $ p \mid a^2+a+1 $, ma se fosse vera la prima allora ne conseguirebbe che il secondo fattore è uguale a 1, il che è impossibile; perciò otteniamo che $ a-1=2 $ quindi $ a=3 $ e che $ 3^2+3+1=p $ quindi $ p=13 $

..non so se l'utilizzo di teoremi avanzati sia "utilizzabile"..nel senso di permesso nelle competizioni..comunque sia, in questo caso, penso si possa ragionare molto più semplicemente scrivendo..
${{\left( 2p \right)}^{n}}={{a}^{3}}-1=\left( a-1 \right)\left( {{\left( a-1 \right)}^{2}}+3a \right)$..per escludere i casi $n\ge2 $.....
..cercherei di giustificare meglio anche la seconda parte....ti serve coprimalità fattori.. temo..

[PIELEO13]

erFuricksen ha fatto giusto! Rispondendo all'osservazione di gpzes, secondo me la matematica è matematica, quindi non penso che ci siano problemi a utilizzare un teorema come quello di Mihailescu... Comunque gpzes propone un altro metodo di risoluzione ugualmente efficace, quindi bravi entrambi!

[Pierbene96]

#LeonardiniAlleEGMO