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Visto che l'ultimo post in teoria dei numeri è vecchio pubblico un problema carino :

Per alcuni valori di $ n $, le potenze $ 2^n $ e $ 5^n $ (in notazione decimale) iniziano con la stessa cifra d.
Qual è questa cifra?

Fonte: Engel

Ma cosa intendi per notazione decimale quella tradizionale tipo un numero 12783 così ?
E poi cosa intendi per "iniziano con la stessa cifra? Intendi quella delle unità o quella tutta a sinistra?
Scusami se le domande ti possono sembrare banali ma se uno a sei dubbi e bene sempre dirli.

Si esatto notazione decimale intendo quella classica (dovevo specificarlo che il numero andava scritto in notazione decimale) e per prima cifra intendo quella da sinistra, dunque NON quella delle unità.
Figurati, fai bene a chiedere se hai dei dubbi

Mmh... $d=3$?
$2^5$ e $5^5$ iniziano con $3$, andando un po' avanti a calcolare $2^{15}=32768$ inizia con $3$.
$5^{15}$ è grande da calcolare... ma possiamo dire che $3\cdot 10^4=30000<2^{15}<33333=\frac{1}{3}\cdot 10^5$ e che $5^n = \frac{10^n}{2^n}$, da cui
\[ 30000000000=3\cdot 10^{1}<5^{15}<\frac{1}{3}\cdot 10^{11}=33333333333 \]
Per cui $5^{15}$ inizia con il $3$.

Due valori sono considerati "alcuni"?

AGallese ha scritto: Due valori sono considerati "alcuni"?

Sicuramente d=3, ma il bello (e difficile) del problema sta proprio nel dimostrare che se per un certo $ n $ iniziano con la stessa cifra, quella cifra può essere soltanto $ d=3 $.
Prova ancora e cerca di generalizzarlo

Supponiamo che $2^n$ e $5^n$ inizino con la stessa cifra $k$ (ovviamente $1\leq k\leq 9$).
Allora, per opportuni $a$ e $b$, sarà$$k\cdot10^a<2^n<(k+1)\cdot10^a$$$$k\cdot10^b<5^n<(k+1)\cdot10^b$$Moltiplicando membro a membro, si ottiene$$k^2\cdot 10^{a+b}<2^n\cdot5^n=10^n<(k+1)^2\cdot10^{a+b}.$$Sappiamo che $k^2\geq1$ e $(k+1)^2\leq10^2$, perciò dev'essere $n=a+b+1$ e quindi $k^2< 10$ e $(k+1)^2>10$, il che avviene solo per $k=3$.
Quindi $d=3$.
Gli $n$ per cui ciò accade esistono, un esempio è $n=5$.
Va bene?

DIMOSTRAZIONE IMPECCABILE