intero positivo uguale a 11 volte la somma delle cifre

[nuoveolimpiadi1999]

Elisa ha trovato un numero intero (che ha chiamato “eleven”) che risulta uguale a 11 volte la somma delle sue cifre.
Chi è eleven?


Indicare metodo risolutivo, il più chiaro possibile grazie

[PIELEO13]

Innanzitutto guardiamo quante cifre può avere questo numero.
Diciamo che il numero ha $ n $ cifre. Il massimo numero di $ n $ cifre ha tutte le cifre uguali a $ 9 $.
Quindi la somma delle cifre massima che questo numero di $ n $ cifre può avere è $ 9n $.
Sappiamo che $ 11 \cdot\ 9n = k $ dove $ k $ è il numero che stiamo cercando. Poiché $ k $ ha
$ n $ cifre, $ k > 10^{n-1} $.
Scriviamo dunque: $ 11 \cdot\ 9n > 10^{n-1} $ che è verificato per $ n < 4 $.
$ n=1, 2 $ non è accettabile. Perciò il nostro $ k $ ha tre cifre.

Allora possiamo dire che:
$ 100A + 10B + C = 11(A + B + C) $
$ 89A = B + 10C $ da ciò si ricava facilmente (poiché 89 è primo) che $ A=1 , B=9 , C=8 $ è l'unica soluzione.
$ k=198 $

[nuoveolimpiadi1999]

Ho capito quasi tutta la tua risoluzione tranne come è che deduci esattamente che poichè k ha "n" cifre allora k>10^n-1
Potresti spiegarmelo con parole semplici ed essendo il più chiaro possibile? Grazie

[Talete]

Boh, provo a spiegartelo io (non voglio togliere il lavoro agli altri, ma ero di passaggio...)

Se tu consideri il fatto che $k$ ha $n$ cifre in base $10$, quali sono i valori che può assumere $k$? Be', al minimo è $10...00$, con $n-1$ zeri, perciò $k$ è al minimo $10^{n-1}$. Se $k$ fosse minore di $10^{n-1}$, sarebbe al massimo $99...99$ (con $n-1$ cifre $9$ di fila), ma non avrebbe $n$ cifre bensì $n-1$. Tutto chiaro?

[nuoveolimpiadi1999]

Grazie Talete ora ho capito ancora un po' di più ma non in maniera perfetta. Se perfavore PIELEO13 puoi spiegarmelo anche tu così capisco ancora meglio grazie!

[matpro98]

Non è difficile: $10^k$ ha esattamente $k+1$ cifre, mentre $10^k-1$ ne ha $k$. In questo modo, se sai che un numero $n$ ha $k$ cifre, allora $10^{k-1}\leq n < 10^k$. Tutto chiaro?

[nuoveolimpiadi1999]

Perfetto, ora si che ho capito alla perfezione sei stato chiarissimo. Grazie matpro98 e grazie a tutti gli altri!