Problema turco

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Hawk
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Problema turco

Messaggio da Hawk » 14 lug 2015, 15:03

Consideriamo: $ \displaystyle\prod_{n=1}^{1996}(1+nx^{3^{n}}) = 1+a_{1}x^{k_{1}}+a_{2}x^{k_{2}}+\cdots+a_{m}x^{k_{m}} $, con $ a_{1},a_{2},..., a_{m} $ diversi da 0 e $ k_{1}< k_{2}< \cdots < k_{m} $. Trovare $ a_{1996} $.
« Due cose hanno soddisfatto la mia mente con nuova e crescente ammirazione e soggezione e hanno occupato persistentemente il mio pensiero: il cielo stellato sopra di me e la legge morale dentro di me. »

Simone97
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Re: Problema turco

Messaggio da Simone97 » 04 set 2015, 15:40

Per caso è $ \frac {10!}{20} $? Se sì scrivo il procedimento

Hawk
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Re: Problema turco

Messaggio da Hawk » 06 set 2015, 17:11

No, mi spiace è sbagliato.
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jordan
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Re: Problema turco

Messaggio da jordan » 06 set 2015, 19:43

Scrivi lo stesso il procedimento, è l'idea che conta, non il risultato..
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Simone97
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Re: Problema turco

Messaggio da Simone97 » 07 set 2015, 20:06

Va bene, provo.
Intanto, $ \displaystyle k_i =\sum 3^j $, per un qualche insieme di $ j $ in $ {1, 2, ... 1996} $.
I $ k_i $ sono dunque, per ovvie ragioni, tutti e gli unici numeri che possono essere scritti in base $ 3 $ come stringhe di $ 0 $ e $ 1 $ di $ 1997 $ cifre. A questo punto considero la funzione $ f: \{k_i\} \to \{2, 4, ..., 2m\} $, che associa a ogni $ k_i $ il numero $ n $ tale che la rappresentazione in sistema binario di $ n $ sia uguale alla rappresentazione in sistema ternario di $ k_i $: $ f $ è una biiezione, e associa banalmente $ 2i $ a $ k_i $. Ora posso trovare facilmente la rappresentazione di $ k_{1996} $ in base $ 3 $: $ f(k_{1996})=2*1996=111110011000_2 $, perciò $ k_{1996}=111110011000_3 $. Quindi $ k_{1996}=3^3+3^4+3^7+3^8+3^9+3^{10}+3^{11} $.
Da qui concludo che $ a_{1996}=3*4*7*..=\frac{11!}{30} $.
E' scritto un po' male, spero che si capisca..

Hawk
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Re: Problema turco

Messaggio da Hawk » 07 set 2015, 20:38

Sì è giusto, anche il risultato finale. Però dovresti dimostrare che effettivamente esiste la tua $f$, nel senso perchè la rappresentazione in sistema binario di $ 2i $ è "uguale" alla rappresentazione in base $ 3 $ di $ k_i $? Questa implicazione mi sembra tutt'altro che banale.
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Re: Problema turco

Messaggio da Simone97 » 08 set 2015, 11:15

Dunque, tutte le rappresentazioni in base tre sono tutte le stringhe di $ 1 $ e $ 0 $ di $ 1997 $ cifre che terminano per $ 0 $, dato che nella produttoria non compare $ x^{3^0} $, perciò $ f(\{k_i\})=\{2, 4, ... 2m\} $ . Questo, unito al fatto che $ f $ è monotona (non è difficile da verificare), porta a concludere $ f(k_i)=2i $.
Meglio?

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