183. $p+6|4^p-1$

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Troleito br00tal
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183. $p+6|4^p-1$

Messaggio da Troleito br00tal » 22 lug 2015, 14:15

Determinare tutti i numeri primi $p$ tali che $p+6|4^p-1$.

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gpzes
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Re: 183. $p+6|4^p-1$

Messaggio da gpzes » 22 lug 2015, 18:37

:oops: ... qui penso sia ok :wink: ..adesso torno al 182 :oops:
Testo nascosto:
$p=3,5$..uniche

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luca95
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Re: 183. $p+6|4^p-1$

Messaggio da luca95 » 22 lug 2015, 23:55

$ \textbf{Big Lemma:} $ Gli unici primi $ q $ che dividono $ \displaystyle\frac{x^p-1}{x-1}=x^{p-1}+x^{p-2}+...+x^2+x+1 $sono $ p $ e i primi congrui a 1 mod p
$ \textbf{Dim.} $Sia q un primo con la proprietà richiesta, $ q\vert x^p-1\Rightarrow $ $ x^p\equiv 1 \pmod{q} $, allora $ ord_q(x)\vert p $ quindi o $ ord_q(x)=1 $ o $ ord_q(x)=p $.
Nel primo caso abbiamo $ x\equiv 1 \pmod{q} $ che implica $ x^{p-1}+x^{p-2}+...+x^2+x+1\equiv p\equiv 0 \pmod{q} $ da cui $ q=p $.
Se invece $ ord_q(x)=p $, poiché in generale $ ord_q(x)\vert q-1 $ si ha che $ p\vert q-1 $ ovvero $ q\equiv 1\pmod{p} $.

Passiamo ora al nostro problema, i casi p=2 e p=3 si fanno facilmente a mano, se p è diverso da 3 allora p+6 dovrà dividere $ \displaystyle\frac{4^p-1}{3} $, inoltre se p è diverso da 3 si ha che $ \hspace{0.1cm}p+6\not\equiv 0 \pmod{p} $.
Applicando il lemma otteniamo che $ p+6 $ deve essere il prodotto di primi congrui ad 1 mod $ p $, questo implica
$ p+6\equiv 1 \pmod{p}\Rightarrow p=5 $ che in effetti soddisfa le condizioni cercate.
In conclusione i numeri primi cercati sono solo 3 e 5.


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