Cesenatico, problema del 2012 (bis)

[AlexThirty]

Questo numero di 8 cifre possiamo benissimo scriverlo in un modo molto comodo, cioè come $ (10001\cdot n)+1=k^2 $. Portiamo quindi l'uno a destra e scomponiamo da entrambe le parti.
$ 73\cdot 137n=(k-1)(k+1) $
Serve dunque un numero $ n $ i cui fattori opportunamente scelti e combinati con $ 73 $ e$ 137 $ diano due numeri che differiscono di due. ($ n $ deve anche essere di 4 cifre)
Ma allora proviamo a scrivere questa cosa come un'equazione, e ipotizziamo che $ 73 $ e$ 137 $ vadano con due fattori diversi.
$ 137h-73k=2 $
La risolviamo come un'equazione diofantea e abbiamo che le soluzioni base sono
$ 137\cdot 8-15\cdot 73=1 $
$ 137\cdot 16-30\cdot 73=2 $
Sappiamo ora che esistono soluzioni infinite e che sono del tipo $ h=16+73a,\ k=30+137a $. (in $ k $ il segno della diofantea li cambia entrambi gli addendi)
Si deve avere che $ hk=n $ siccome erano i suoi fattori e quindi è un numero di 4 cifre, quindi $ 16\cdot 30 $, non va bene. Si fa quindi qualche prova numerica , ma basta anche solo con $ a=\pm 1 $, altrimenti escono numeroni con più di 4 cifre.
Con $ a=+1 $ otteniamo $ h=89,\ k=169 $, ma il loro prodotto ha 5 cifre.
Con $ a=-1 $ otteniamo $ h=-57,\ k=-107 $ che come prodotto da effettivamente $ 6099 $.
Ora vediamo che effettivamente se sostituiamo nella diofantea $ -57\cdot 1 37+107\cdot 73=2 $. Quindi $ k+1=7811,\ k-1=7809 $
Ora basta rimetterlo nell'equazione iniziale e abbiamo $ 60996099+1=60996100=k^2 $ che effettivamente è il quadrato di $ 7810 $.
Il risultato è $ n=6099 $


EDIT: corretti i segni delle soluzioni della diofantea

[AlexThirty]

Si qua diciamo che l'ho risolta molto alla "gara a squadre" dove ti affidi all'intuito e speri
Per quanto riguarda la diofantea si anche li l'ho scritta alla carlona anche perchè non ho molta confidenza con i segni nelle diofantee.