Sempre lo schifo

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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LucaMac
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Sempre lo schifo

Messaggio da LucaMac » 23 ott 2015, 19:57

Dimostrare che l'equazione diofantea $$x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=y^5-1$$ non ha soluzioni in $ \mathbb{Z} $
"And if we want to buy something to drink?"
"Just go to 7-11"
-----------------------------------
"Why an inequality?"
"Inequality happens"

Saro00
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Re: Sempre lo schifo

Messaggio da Saro00 » 26 ott 2015, 14:37

Oggi non riesco a scrivere la soluzione, ma si risolve con questo lemma
Testo nascosto:
viewtopic.php?f=15&t=19540, è il lemma dimostrato da luca95
Un giorno di questi mi metteranno in prigione per aver stuprato troppi problemi. 8)

Saro00
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Re: Sempre lo schifo

Messaggio da Saro00 » 27 ott 2015, 17:14

Scrivo la soluzione completa
Testo nascosto:
Lemma: Gli unici primi $ q $ che dividono $ \displaystyle\frac{x^p−1}{x−1}=x^{p−1}+x^{p−2}+...+x^2+x+1 $ sono $ p $ e i primi congrui a $ 1 \pmod{p} $. E' un fatto noto quindi non lo dimostro.
Ora riscrivo il testo come $ \displaystyle\frac{x^7-1}{x-1}=y^5-1 $. Applico il Lemma all'$ LHS $ e ottengo che $ \displaystyle y^5-1 \equiv 0 \pmod{p} \Longrightarrow p \equiv 0 \lor 1 \pmod{7} $.
Ora, dato che $ \displaystyle y-1 \mid y^5-1 $, si deve avere che $ [tex] $\displaystyle y-1 \equiv 0 \lor 1 \pmod{7} \iff y\equiv 1 \lor 2 \pmod{7} [*][/tex].
Di nuovo, dato che $ \displaystyle y^4+y^3+y^2+y+1 \mid y^5-1 $, si deve avere che $ \displaystyle y^4+y^3+y^2+y+1 \equiv 0 \lor 1 \pmod{7} $, ma da $ [tex] $\displaystyle[*][/tex] so che $ \displaystyle y^4+y^3+y^2+y+1 \equiv 5 \lor 3 \pmod{7} $, un pochino assurdo !!
Un giorno di questi mi metteranno in prigione per aver stuprato troppi problemi. 8)

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