OliForum Matematico

viewtopic.php?f=15&t=19540, è il lemma dimostrato da luca95

Lemma: Gli unici primi $ q $ che dividono $ \displaystyle\frac{x^p−1}{x−1}=x^{p−1}+x^{p−2}+...+x^2+x+1 $ sono $ p $ e i primi congrui a $ 1 \pmod{p} $. E' un fatto noto quindi non lo dimostro.
Ora riscrivo il testo come $ \displaystyle\frac{x^7-1}{x-1}=y^5-1 $. Applico il Lemma all'$ LHS $ e ottengo che $ \displaystyle y^5-1 \equiv 0 \pmod{p} \Longrightarrow p \equiv 0 \lor 1 \pmod{7} $.
Ora, dato che $ \displaystyle y-1 \mid y^5-1 $, si deve avere che $ [tex] $\displaystyle y-1 \equiv 0 \lor 1 \pmod{7} \iff y\equiv 1 \lor 2 \pmod{7} [*][/tex].
Di nuovo, dato che $ \displaystyle y^4+y^3+y^2+y+1 \mid y^5-1 $, si deve avere che $ \displaystyle y^4+y^3+y^2+y+1 \equiv 0 \lor 1 \pmod{7} $, ma da $ [tex] $\displaystyle[*][/tex] so che $ \displaystyle y^4+y^3+y^2+y+1 \equiv 5 \lor 3 \pmod{7} $, un pochino assurdo !!