191. $x^2+x^4=7^zy^2$

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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jordan
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191. $x^2+x^4=7^zy^2$

Messaggio da jordan » 29 ott 2015, 22:38

Visto che nessuno si fa vivo:

Risolvere negli interi $x^2+x^4=7^zy^2$.

(Austria 2011)
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RiccardoKelso

Re: 191. $x^2+x^4=7^zy^2$

Messaggio da RiccardoKelso » 30 ott 2015, 00:51

Ci provo, anche se in modo un po' goffo.
Testo nascosto:
Abbiamo che $x^2(x^2+1)=7^zy^2$. Se $x \neq y$ i fattori contenuti in $x$ presenziano comunque anche in $y$ (con lo stesso esponente), dato che se così non fosse $x$ conterrebbe 7 in fattorizzazione e quindi in $x^2+1$ "avanzerebbero" dei fattori oltre a quelli di $y$ dato che non è un quadrato, ma non potendo avere 7 ciò non è possibile. Dividendo per $x^2$ dobbiamo quindi ottenere $x^2+1=7^zk^2$. Essendo $z$ dispari si ha $x^2+1=7t^2$. Grazie ai residui quadratici modulo 4 questa equazione dovrebbe però essere impossibile. Allora il caso $x=y$: $x^2=7^z-1$. Il secondo membro si scompone in $7^z-1=(7-1)(7^{z-1}+...+1)$ (giusto? :? ). Il primo di questi due fattori è ovviamente $6=2 \cdot 3$, quindi anche il secondo deve contenere sia $2$ sia $3$. Questo ci dice che $z$ dovrebbe essere un multiplo di 6 (deve essere pari perché il secondo fattore sia pari e multiplo di 3 perché il secondo fattore sia multiplo di 3, essendo $7 \equiv 1 (mod 3)$). Ma ricordiamo che $x^2+1$ non è un quadrato, quindi v'è contraddizione. Rimangono le soluzioni banali $(0,0,n)$, le quali dovrebbero essere le uniche intere.

Fate pure una lista delle boiate, se c'è speranza cercherò di rimediarvi!

EDIT: Ho riordinato un passaggio (senza cambiare nulla, solo l'ordine delle cose)

Enigmatico
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Re: 191. $x^2+x^4=7^zy^2$

Messaggio da Enigmatico » 30 ott 2015, 22:08

Ehm, non ho capito la parte iniziale dell'avanzo del 7...

Comunque, soluzione alternativa...
Testo nascosto:
Data $x^{4}+x^{2}-7^{z}y^{2}=0$, sia $x^{2}=t$ con $t\in Z$. Segue, $t^{2}+t+7^{z}y^{2}=0$, equazione di secondo grado con delta $\Delta=7^{z}(4y^{2})+1$. Affinché l'equazione abbia soluzioni negli interi, deve valere $\Delta = a^{2}$ con $a \in Z$. Pertanto, $7^{z}(4y^{2})+1=a^{2}\Rightarrow 7^{z}(4y^{2})=(a+1)(a-1) \Rightarrow 7|a+1 \lor 7|a-1$. E', quindi, possibile impostare il seguente sistema:
$\left\{\begin{array}{ll} a+1=7^{\alpha} \\ a-1=7^{\beta} \end{array}\right.$ dove $\alpha , \beta \in Z; \alpha + \beta = z$
$\left\{\begin{array}{ll} 7^{\beta}+2=7^{\alpha} \\ a=7^{\beta}+1 \end{array}\right. \Rightarrow 7^{\beta}(7^{\alpha - \beta}-1)=2 (1)$
Segue $7^{\beta}|2 \Rightarrow \beta=0$ e, sostituendo tale risultato nella $(1)$, si ha $7^{\alpha}=3$ che è impossibile per $\alpha$ intero.
Pertanto, l'equazione $x^{4}+x^{2}-7^{z}y^{2}=0$ ammette come uniche soluzioni le terne banali $(0,0,z)$.

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karlosson_sul_tetto
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Re: 191. $x^2+x^4=7^zy^2$

Messaggio da karlosson_sul_tetto » 30 ott 2015, 22:46

Enigmatico ha scritto:Pertanto, $7^{z}(4y^{2})+1=a^{2}\Rightarrow 7^{z}(4y^{2})=(a+1)(a-1) \Rightarrow 7|a+1 \lor 7|a-1$. E', quindi, possibile impostare il seguente sistema:
$\left\{\begin{array}{ll} a+1=7^{\alpha} \\ a-1=7^{\beta} \end{array}\right.$ dove $\alpha , \beta \in Z; \alpha + \beta = z$
E $4y^2$ dove va a finire? Anche lui deve far parte di uno dei due fattori $a+1$ e $a-1$ (oppure potrebbe anche essere diviso tra i due).
Per esempio, anche se non è pari, $7\cdot 3^2+1=64=8^2$.
"Inequality happens"
---
"Chissa se la fanno anche da asporto"

RiccardoKelso

Re: 191. $x^2+x^4=7^zy^2$

Messaggio da RiccardoKelso » 30 ott 2015, 23:05

Enigmatico ha scritto:Ehm, non ho capito la parte iniziale dell'avanzo del 7...
Provo a riscriverla meglio: supponiamo che $x$ contenga fattori non contenuti in $y$. Allora conterrà dei 7, perché altro non può esserci. Ma allora $x^2+1$ non contiene 7 in fattorizzazione, il che è assurdo perché deve contenere almeno un fattore a esponente dispari.

wall98
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Re: 191. $x^2+x^4=7^zy^2$

Messaggio da wall98 » 31 ott 2015, 12:35

Ne propongo un'altra, che è forse simile a quella di Riccardo:
Testo nascosto:
- $x^2(x^2+1)=7^zy^2$
- Per $|x| \ge 1$: Possiamo supporre $gcd(7,y)=1$ e $z \ge 0$ (perchè se $y$ contenesse fattori 7 ci ricondurremo a un caso in cui non li contiene ecc.).
Poi $gcd(7,x^2+1)=1$ e $gcd(x^2,x^2+1)=1$, una volta scomposto in fattori primi (tutti diversi da 7) $x^2+1$ avremo un $p_i^{a_i}$ con $a_i$ dispari e sempre $gcd(p_i,x^2)=1$ (deve esistere tale $a_i$ perchè $x^2+1$ non è un quadrato), ma allora $v_{p_i}(x^2+1)=v_{p_i}(y^2)$, assurdo perchè $LHS$ è dispari e $RHS$ pari.
- Per $x=0$ : si trovano le soluzioni banali $(0,0,z)$
Il problema non è il problema, il problema sei tu.

PIELEO13
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Re: 191. $x^2+x^4=7^zy^2$

Messaggio da PIELEO13 » 01 nov 2015, 17:17

Pubblico la mia soluzione:
Testo nascosto:
Riduciamo per un momento il problema a [math] In questo caso osserviamo che [math] non può essere un quadrato perfetto. Allora l'unica soluzione è [math]
Torniamo ora al nostro problema di partenza. Osserviamo innanzitutto che [math]. Se l'uguaglianza sussiste, allora [math] cioè posso scrivere [math]. Semplificando ottengo [math]. Mi sono appena ricondotto alla situazione iniziale.
Allora le uniche soluzioni [math] sono [math].

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jordan
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Re: 191. $x^2+x^4=7^zy^2$

Messaggio da jordan » 04 nov 2015, 18:25

In altre parole, $(-1/7)=-1$ :D Bon, chi vuole vada col prossimo
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Kfp
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Re: 191. $x^2+x^4=7^zy^2$

Messaggio da Kfp » 10 dic 2015, 14:30

Susu
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