Sempre disuguaglianze.

[Giovanni_98]

Dimostrare che per qualsiasi $n$ intero positivo vale la seguente disuguaglianza : $$(n!)^2 \leq (\frac{(n+1)(n+2)}{6})^n$$

[EELST]

Provando per induzione sono arrivato al dover dimostrare che: [math](n+1)^{n+2} \leq \frac{(n+2)(n+3)^{n+1}}{6}
ma non so come andare avanti .. si può o bisogna cambiare strada ??

[scambret]

Si può!

[erFuricksen]

Testo nascosto:

$$\sqrt[n]{(n!)^2} \le {{(n+1)(n+2)} \over 6}$$ è il nostro obbiettivo.
Scrivo $\sqrt[n]{(n!)^2}= \sqrt[n]{\prod_{k=0}^{n-1} (k+1)(n-k)}$ , quindi per AM-GM
$$\sqrt[n]{\prod_{k=0}^{n-1} (k+1)(n-k)} \le {1 \over n} \sum_{k=0}^{n-1} (nk-k^2)+(n-k)= \left( {{n(n+1)} \over 2}-{{(n+1)(2n+1)} \over 6} +{{n+1} \over 2} \right)= {{(n+1)(n+2)} \over 6} $$