Quando si dice non stare più nella pelle

[Gerald Lambeau]

Sia $n$ un intero non negativo. Dimostrare che se $2+2\sqrt{1+12n^2}$ è intero allora è anche un quadrato perfetto e determinare tutti gli $n$ per i quali è effettivamente intero.

[Vinci]

Credo di averlo risolto, ma non ne sono sicuro. Metto la risposta, se è giusta metto la dimostrazione.

Testo nascosto:

Per caso le uniche soluzioni sono 0 e 2?

[Gerald Lambeau]

Nope, ce ne sono altre.

[Fbuonarroti]

Un hint per la prima parte?

[Gerald Lambeau]

La prima parte sono sostituzioni e un po' di casistica (tipo un paio di casi mi sembra); alternativamente c'è il metodo assassino, ma è caldamente consigliato che chi lo conosce e sa come usarlo eviti (o almeno metta in spoiler) per lasciare il passo a chi vuol tentare la via più elementare.

[Drago96]

Il metodo assassino è molto divertente!
Ed è anche spoilerato nel titolo

[Gerald Lambeau]

[erFuricksen]

Non credo di aver capito a quali metodi vi riferite, io ne ho trovato uno (probabilmente quello assassino, ma non lo so) quindi mi piacerebbe tanto sapere l'altro!

Testo nascosto:

Ovviamente deve essere razionale $\sqrt{12 n^2 +1}$ e quindi intero. Sia allora $k$ un intero positivo tale che $12 n^2 +1 =k^2$ , vediamo facilmente che questa è una Pell che ha soluzioni positive $k+ \sqrt{12} n = (k_0 + \sqrt{12} n_0)^i$ e una soluzione (0,1) se contiamo quelle non negative. Vediamo facilmente che (0,1) soddisfa i requisiti, quindi concentriamoci sulle altre. Troviamo subito $k_0=7$ e $n_0=2$, da cui $k+ \sqrt{12} n=(7+4 \sqrt{3} )^i$ e quindi anche $k-\sqrt{12} n=(7-4 \sqrt{3})^i$. Ma quindi vale $k={{(7+4 \sqrt{3})^i + (7-4 \sqrt{3})^i} \over 2}$ .
Vediamo adesso che dalla definizione di $k$ vale $2+2 \sqrt{12 n^2 +1}=2k+2=(7+4 \sqrt {3})^i+(7-4 \sqrt{3})^i+2$. Ora, la chiave di tutto sta nel notare che $7+4 \sqrt{3} = (2+ \sqrt{3})^2$, da cui $2k+2=(2+ \sqrt{3})^{2i}+(2- \sqrt{3})^{2i}+2=((2+ \sqrt{3})^i + (2- \sqrt{3})^i)^2$ che è la tesi.

[Gerald Lambeau]

Giusta! L'altro metodo è quello più elementare e senza troppa teoria, come ho già detto sono solo sostituzioni e casi.