[Ammissione WC17] TdN 1: Somma delle cifre del doppio

[Talete]

Sia $k$ un intero positivo, e, per ogni intero positivo $n$, denotiamo con $s(n)$ la somma delle cifre decimali di $n$. Sia $\mathcal A_k$ l'insieme dei numeri $n$ che hanno esattamente $k$ cifre decimali e tali che $s(n) < s(2n)$. Sia $\mathcal B_k$ l'insieme dei numeri $n$ che hanno esattamente $k$ cifre decimali e tali che $s(n) > s(2n)$. Dimostrare che $\mathcal A_k$ e $\mathcal B_k$ hanno lo stesso numero di elementi.

[Federico II]

Testo nascosto:

Prova a vedere, per ogni cifra di $n$, cosa succede a $2n$ e $s(2n)$.

Testo nascosto:

Se permuti le cifre di $n$ allora $s(2n)$ resta invariato.

[Talete]

Be' puoi altrimenti

Testo nascosto:

Considerare gli insiemi $\mathcal S_{k,d}$ per cui $s(2n)-s(n)=d$.

Testo nascosto:

La tesi seguirebbe se si avesse $\mathcal S_{k,d}=\mathcal S_{k,-d}$ per ogni $d$.

Testo nascosto:

Si induce su $k$.