Ogni cifra di $n$ divide $n$

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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jordan
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Ogni cifra di $n$ divide $n$

Messaggio da jordan » 06 feb 2017, 17:24

(1. Da qui) Sapendo che esiste un intero positivo che ha 7 cifre diverse ed è multiplo di ognuna di esse, quali sono le sue cifre?
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Vinci
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Re: Ogni cifra di $n$ divide $n$

Messaggio da Vinci » 07 feb 2017, 14:07

Testo nascosto:
Allora, non può esserci lo zero perchè nessun numero è multiplo di zero. Dovendo scegliere $7$ cifre dalle $9$ rimanenti, ed essendocene $4$ pari, ci sarà sicuramente una cifra pari, e quindi il nostro numero è pari. Questo ci fa escludere il $5$, perchè se fosse multiplo di $5$, dato che la cifra delle unità non può essere zero, la cifra delle unità sarebbe proprio $5$ ed il numero sarebbe dispari. La somma delle restanti cifre è $1+2+3+4+6+7+8+9=40$. Se togliessimo il $9$, la somma delle cifre sarebbe $31$, ma il numero dovrebbe essere multiplo di $3$, quindi il $9$ deve esserci. Dato che $40$ è congruo a $4$ $\pmod{9}$ l'ultima cifra da togliere è proprio il $4$, affinchè la somma delle cifre del nostro numero sia multipla di $9$ (per il criterio di congruenza modulo $9$). Quindi le $7$ cifre cercate sono $1,2,3,6,7,8,9$

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