Residui dei numeri armonici

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...

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jordan
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Residui dei numeri armonici

Messaggio da jordan » 06 feb 2017, 17:37

(11. Da qui) Sia $p$ un primo sufficientemente grande. Mostrare che il numero di residui distinti presi dall'insieme
$$
\left\{1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}: n=1,2,\ldots,p-1\right\}
$$
modulo $p$ è maggiore di $\sqrt[4]{p}$.
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darkcrystal
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Re: Residui dei numeri armonici

Messaggio da darkcrystal » 07 feb 2017, 16:54

Rilancio: a meno di errori da parte mia, è anche maggiore o uguale a $ \sqrt{\frac{p-1}{2}} $ (e questo per ogni numero primo, senza eccezioni).
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cip999
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Re: Residui dei numeri armonici

Messaggio da cip999 » 07 feb 2017, 20:28

Ma anche $\sqrt{p}$ (per i primi dispari)...
- E cosa c'è di peggio del suicidio?
- La vita.

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jordan
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Re: Residui dei numeri armonici

Messaggio da jordan » 08 feb 2017, 12:51

darkcrystal ha scritto:Rilancio: a meno di errori da parte mia, è anche maggiore o uguale a $ \sqrt{\frac{p-1}{2}} $ (e questo per ogni numero primo, senza eccezioni).
Giusto! Chiamata $N(p)$ la quantità cercata, la soluzione che avevo in mente (col senno di poi piu' complicata del necessario) mostra che $$N(p)\gg p^{1/3}.$$ Quella che dici te invece solo due righe, meglio cosi :wink:

Se a qualcuno puo' interessare, e' un problema aperto in letteratura mostrare che esiste $\epsilon>0$ tale che
$$
N(p) \gg p^{1/2+\epsilon}.
$$
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