Trovare tutte le terne $(a,b,c)$ di numeri razionali distinti tali che
\[\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}\]
è il quadrato perfetto di un numero razionale.
Quadrati razionali
Quadrati razionali
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo
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"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo
Re: Quadrati razionali
Testo nascosto:
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Re: Quadrati razionali
@Ventu06 la tua soluzione é molto sintetica e non capisco granché, puoi aggiungere piú dettagli?
Re: Quadrati razionali
Credo che siamo tutti d'accordo sul fatto che $\Bigg(\dfrac{1}{(a−b)}+\dfrac{1}{(b-c)}+\dfrac{1}{(c-a)}\Bigg)^2$ è il quadrato perfetto di un numero razionale ($a$,$b$,$c$ distinti).
Riguardo questa parte
$\dfrac{1}{(a−b)^2}+\dfrac{1}{(b-c)^2}+\dfrac{1}{(c-a)^2}=\Bigg(\dfrac{1}{(a−b)}+\dfrac{1}{(b-c)}+\dfrac{1}{(c-a)}\Bigg)^2$
basta fare il minimo comune denominatore e svolgere i conti o darla in pasto a Wolfram Alpha per verificarla
Riguardo questa parte
$\dfrac{1}{(a−b)^2}+\dfrac{1}{(b-c)^2}+\dfrac{1}{(c-a)^2}=\Bigg(\dfrac{1}{(a−b)}+\dfrac{1}{(b-c)}+\dfrac{1}{(c-a)}\Bigg)^2$
basta fare il minimo comune denominatore e svolgere i conti o darla in pasto a Wolfram Alpha per verificarla
- Gerald Lambeau
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Re: Quadrati razionali
Oppure ci accorgiamo che $\displaystyle \left( \frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a} \right)^2= \sum_{cyc} \frac{1}{(a-b)^2}+2\sum_{cyc}\left(\frac{1}{a-b} \cdot \frac{1}{b-c}\right)$ perché è il quadrato di un trinomio, quindi ci serve la seconda sommatoria ciclica uguale a $0$, e non mi sembrano tutti 'sti gran conti, perché al numeratore viene una cosa bella assai.
"If only I could be so grossly incandescent!"