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Abbiamo che: $$\frac{m}{n}=a_kb^k+a_{k-1}b^{k-1}+\dots +a_1b+a_0+\frac{a_{-1}}{b}+\dots +\frac{a_{-h+1}}{b^{h-1}}+\frac{a_{-h}}{b^{h}}$$ dove $h$, $k$ e gli $a_i$ sono interi positivi e $\forall i , 0\le a_i <b$. Avremo che $n$ ha una fattorizzazione unica in primi $n=\prod {p_i}^{\alpha_i}$ e facendo il minimo comune multiplo otterremo $$mb^h=(a_kb^{k+h}+\dots +a_{-h})\prod {p_i}^{\alpha_i}$$ Dato che nessuno dei $p_i$ divide $m$ in quanto $m$ ed $n$ sono coprimi abbiamo che per ogni $i$ $p_i\mid b^h\Rightarrow p_i\mid b$

Chiamiamo $h$ il più piccolo intero tale che $n|b^h$. Cosa si può dire di $\dfrac m n b^h$?

E' intero e quindi ha una rappresentazione decimale finita e quindi dividendo tutto per $b^h$ si ottiene che anche $m/n$ ha una rappresentazione finale finita. Grazie mille, era più facile di quanto pensassi