Palindromo
Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
Palindromo
Messaggio da il filosofo »
Può un numero composto scrivendo i numeri da 1 a n uno di fianco all'altro essere palindromo?
- GiOvy_27_13
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- Iscritto il: 09 mag 2017, 20:45
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Re: Palindromo
Messaggio da GiOvy_27_13 »
Ovviamente si suppone [math]n\neq1.
Testo nascosto:
La risposta è:
[math]P=12\dots(b-1)10\dots01(b-1)....21
I ... rappresentano cifre e [math](b-1) rappresenta la cifra "[math](b-1)".
Dalla scrittura di [math]P notiamo che [math]n deve finire per [math]\dots21 , quindi [math]n-1 finisce per [math]\dots20 e da ciò deriva che la prima cifra di [math]n è una cifra che precede uno [math]0 nella scrittura di [math]P, quindi le cifre [math]c di [math]n sono almeno [math]c\geq (b-1)+1=b .
Consideriamo il numero [math]U composto da solo cifre "[math]1" tale che [math]U<n e [math]U sia il più grande possibile; quindi ha o tante cifre quante [math]n , cioè [math]c , oppure una in meno, [math]c-1 .
Questo numero e il suo successivo, in [math]P formano una stringa di [math]2c-1 o [math]2c-3 cifre "[math]1" consecutive, che è la più lunga stringa di soli "[math]1" alla quale contribuiscono solo due numeri, infatti due numeri consecutivi danno luogo a una stringa lunga al massimo [math]2c cifre che non possono essere tutte uguali altrimenti i numeri coinciderebbero, quindi la massima stringa di cifre uguali è lunga [math]2c-1. Nel secondo caso, si ha per forza [math]n=1...[math]0\dots21 , dove i ... rappresentano solo cifre "[math]1" , altrimenti si ricadrebbe nel primo caso. questo comporta che due numeri consecutivi di [math]c cifre formano una stringa di cifre uguali lunga al massimo la distanza tra i due "[math]0" nella stringa, cioè [math]c .
Consideriamo dunque due numeri consecutivi lunghi [math]c-1 cifre; con ragionamento analogo al precedente si ottiene che la stringa più lunga di cifre uguali è lunga al massimo [math]2(c-1)-1=2c-3.
La stringa di "[math]1" di lunghezza massima formata da due numeri è unica, infatti esistesse un'altra stringa con la cifra successiva diversa da [math]2 e/o la cifra precedente diversa da [math]0, i numeri che la formano non sarebbero più consecutivi.
Tre (o più) numeri consecutivi non possono formare una stringa di cifre uguali poiché l'ultima cifra del primo numero è diversa dall'ultima cifra del numero centrale, quindi la stringa formata da [math]U e [math]U+1 è la stringa di "[math]1" più lunga in [math]P e non ne esistono altre (sempre di "[math]1") di lunghezza uguale.
Ciò implica che il centro di [math]P si trova nell'[math]1 centrale della stringa di "[math]1" (ha lunghezza dispari perchè è uguale o a [math]2c-1 o a [math]2c-3); però la cifra precedente la stringa è uno "[math]0" e quella successiva è un "[math]2", quindi [math]P non è più palindromo e abbiamo un assurdo.
Con [math]b=2 , ad esempio [math]n=11 rende il numero palindromo ([math]n=11 \Rightarrow P=11011).
- NO, lavorando in basi [math]b\geq3
- SI in base [math]2
[math]P=12\dots(b-1)10\dots01(b-1)....21
I ... rappresentano cifre e [math](b-1) rappresenta la cifra "[math](b-1)".
Dalla scrittura di [math]P notiamo che [math]n deve finire per [math]\dots21 , quindi [math]n-1 finisce per [math]\dots20 e da ciò deriva che la prima cifra di [math]n è una cifra che precede uno [math]0 nella scrittura di [math]P, quindi le cifre [math]c di [math]n sono almeno [math]c\geq (b-1)+1=b .
Consideriamo il numero [math]U composto da solo cifre "[math]1" tale che [math]U<n e [math]U sia il più grande possibile; quindi ha o tante cifre quante [math]n , cioè [math]c , oppure una in meno, [math]c-1 .
Questo numero e il suo successivo, in [math]P formano una stringa di [math]2c-1 o [math]2c-3 cifre "[math]1" consecutive, che è la più lunga stringa di soli "[math]1" alla quale contribuiscono solo due numeri, infatti due numeri consecutivi danno luogo a una stringa lunga al massimo [math]2c cifre che non possono essere tutte uguali altrimenti i numeri coinciderebbero, quindi la massima stringa di cifre uguali è lunga [math]2c-1. Nel secondo caso, si ha per forza [math]n=1...[math]0\dots21 , dove i ... rappresentano solo cifre "[math]1" , altrimenti si ricadrebbe nel primo caso. questo comporta che due numeri consecutivi di [math]c cifre formano una stringa di cifre uguali lunga al massimo la distanza tra i due "[math]0" nella stringa, cioè [math]c .
Consideriamo dunque due numeri consecutivi lunghi [math]c-1 cifre; con ragionamento analogo al precedente si ottiene che la stringa più lunga di cifre uguali è lunga al massimo [math]2(c-1)-1=2c-3.
La stringa di "[math]1" di lunghezza massima formata da due numeri è unica, infatti esistesse un'altra stringa con la cifra successiva diversa da [math]2 e/o la cifra precedente diversa da [math]0, i numeri che la formano non sarebbero più consecutivi.
Tre (o più) numeri consecutivi non possono formare una stringa di cifre uguali poiché l'ultima cifra del primo numero è diversa dall'ultima cifra del numero centrale, quindi la stringa formata da [math]U e [math]U+1 è la stringa di "[math]1" più lunga in [math]P e non ne esistono altre (sempre di "[math]1") di lunghezza uguale.
Ciò implica che il centro di [math]P si trova nell'[math]1 centrale della stringa di "[math]1" (ha lunghezza dispari perchè è uguale o a [math]2c-1 o a [math]2c-3); però la cifra precedente la stringa è uno "[math]0" e quella successiva è un "[math]2", quindi [math]P non è più palindromo e abbiamo un assurdo.
Con [math]b=2 , ad esempio [math]n=11 rende il numero palindromo ([math]n=11 \Rightarrow P=11011).
"Al mondo tutti hanno un nome, tranne ."
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