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Determinare tutti gli interi non negativi $n$ tali che $(1+2^{3n}+4n!)\cdot 5$ sia un quadrato perfetto.

Supponiamo $n\geq 7$ allora $7\mid 4n!$, ora se poniamo il quadrato in questione uguale a $k^2$ allora $k^2=5\left (1+2^{3n}+4n!\right )\equiv 5\left (1+1^n+0\right )\equiv 3\pmod 7$, assurdo perchè $3$ non è un residuo quadratico modulo $7$ quindi $n\le 6$ e questi casi si fanno velocemente a mano.

Corretta! Anziché fare conti a mano, si può verificare che ragionando modulo $5$ dentro la parentesi, sono accettabili solo gli $n$ della forma $4k+2$, con $k>1$, ma se $k=6$ la quantità dentro la parentesi è un multiplo di $25$ ma non di $125$. Dai, non era così brutta