Stima rumena

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Talete
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Stima rumena

Messaggio da Talete »

Dimostrare che
\[\frac12+\frac13+\frac15+\ldots+\frac1p<10,\]
dove $p$ è il più grande primo minore di $2^{100}$.
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
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Gerald Lambeau
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Re: Stima rumena

Messaggio da Gerald Lambeau »

Curioso, stavo cercando problemi sui primi e proprio poco fa mi sono imbattuto nello stesso problema, ma con $8$ al posto di $10$...
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Talete
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Re: Stima rumena

Messaggio da Talete »

Ma infatti la stima è migliorabilissima. Mi pare che la migliore costante sia intorno a $7.6188$ (è $\sqrt[7]{3533040}-1$).
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Talete
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Re: Stima rumena

Messaggio da Talete »

Come mi suggerisce Gerald Lambeau, con il teorema di Mertens (che non è l'attaccante del Napoli) si può ottenere che la somma a lhs è minore di
\[\ln \ln 2^{100}+0.27+\frac{4}{\ln (2^{100}+1)}+\frac{2}{2^{100}\ln(2^{100})}<4.57.\]
Ma la mia stima si raggiunge in modo completamente elementare :D
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Gerald Lambeau
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Re: Stima rumena

Messaggio da Gerald Lambeau »

Rilancio: dimostrare che quella somma vale almeno $3.74$.
Testo nascosto:
Può darsi che mi sia perso una dimostrazione più stupida di quella che ho in mente, se vi viene è possibile che troviate un'approssimazione migliore, ma boh non so.
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