Numeri cortesi e scortesi
Numeri cortesi e scortesi
Buongiorno!
ho bisogno di un aiuto per una dimostrazione che pensavo fosse più semplice..
i numeri cortesi sono quei numeri naturali che possono scriversi come somma di due o più numeri consecutivi, ad esempio il 6=3+2+1 oppure il 10=1+2+3+4. Con l'utilizzo dei numeri figurati è facile dimostrare che tutti i numeri sono cortesi tranne le potenze di due...ora viene il problema..intuisco il problema dipenda dall'assenza di fattori primi dispari, ma non riesco a dimostrarlo.
Spero di aver postato nella sezione giusta..
grazie e a presto!
ho bisogno di un aiuto per una dimostrazione che pensavo fosse più semplice..
i numeri cortesi sono quei numeri naturali che possono scriversi come somma di due o più numeri consecutivi, ad esempio il 6=3+2+1 oppure il 10=1+2+3+4. Con l'utilizzo dei numeri figurati è facile dimostrare che tutti i numeri sono cortesi tranne le potenze di due...ora viene il problema..intuisco il problema dipenda dall'assenza di fattori primi dispari, ma non riesco a dimostrarlo.
Spero di aver postato nella sezione giusta..
grazie e a presto!
Re: Numeri cortesi e scortesi
La somma dei numeri da $1$ ad $n$ si può scrivere come $n(n+1)/2$. Quindi i numeri cortesi sono quei numeri $\mathcal C$ che per certi $m$ ed $n$ si possono scrivere come
\[\mathcal C = \frac{n(n+1)}2-\frac{m(m+1)}2=\frac{(n-m)(n+m+1)}2.\]
Adesso, $n-m$ e $n+m+1$ hanno differenti parità: il che vuol dire che visto che, scritto $\mathcal C=2^\alpha\cdot D$ con $D$ dispari, si deve avere
\[2^{\alpha+1}\cdot D =(n-m)(n+m+1)\]
e il fattore $2^{\alpha+1}$ deve andare in uno solo dei due fattori. Se $D=1$ (caso delle potenze di due), vuol dire che uno dei fattori tra $n-m$ e $n+m+1$ deve essere uguale a $1$: non può essere $n+m+1=1$ quindi $n-m=1$, ma il problema chiede che siano somma di due o più numeri consecutivi: se $n-m=1$ vuol dire che dalla somma $1+2+\ldots+n$ tolgo $1+2+\ldots+(n-1)$ e quindi rimane un solo numero, assurdo.
\[\mathcal C = \frac{n(n+1)}2-\frac{m(m+1)}2=\frac{(n-m)(n+m+1)}2.\]
Adesso, $n-m$ e $n+m+1$ hanno differenti parità: il che vuol dire che visto che, scritto $\mathcal C=2^\alpha\cdot D$ con $D$ dispari, si deve avere
\[2^{\alpha+1}\cdot D =(n-m)(n+m+1)\]
e il fattore $2^{\alpha+1}$ deve andare in uno solo dei due fattori. Se $D=1$ (caso delle potenze di due), vuol dire che uno dei fattori tra $n-m$ e $n+m+1$ deve essere uguale a $1$: non può essere $n+m+1=1$ quindi $n-m=1$, ma il problema chiede che siano somma di due o più numeri consecutivi: se $n-m=1$ vuol dire che dalla somma $1+2+\ldots+n$ tolgo $1+2+\ldots+(n-1)$ e quindi rimane un solo numero, assurdo.
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo
-
- Messaggi: 26
- Iscritto il: 24 mar 2017, 15:57
Re: Numeri cortesi e scortesi
Ma così hai dimostrato "solo" che non possono essere cortesi i le potenze di due, ma non che lo sono tutti gli altri
Re: Numeri cortesi e scortesi
Testo nascosto:
Re: Numeri cortesi e scortesi
grazie mille
non avevo pensato alla formula di Gauss
non avevo pensato alla formula di Gauss
Re: Numeri cortesi e scortesi
gli altri numeri si dimostrano molto semplicemente con i numeri figuratiMichael Pasquini ha scritto: ↑15 nov 2017, 18:27 Ma così hai dimostrato "solo" che non possono essere cortesi i le potenze di due, ma non che lo sono tutti gli altri
Re: Numeri cortesi e scortesi
Se è chiaro a te... Io sinceramente non ho idea di cosa tu stia intendendoseant ha scritto:gli altri numeri si dimostrano molto semplicemente con i numeri figurati
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)
"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)
Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?
PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!
"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)
Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?
PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!
Re: Numeri cortesi e scortesi
Sí infatti io avevo capito che la richiesta era solo questa. Comunque mi pare che la cosa di @C3POletto funzioni, avevo pensato a qualcosa di simileMichael Pasquini ha scritto: ↑15 nov 2017, 18:27 Ma così hai dimostrato "solo" che non possono essere cortesi i le potenze di due, ma non che lo sono tutti gli altri
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo
-
- Messaggi: 26
- Iscritto il: 24 mar 2017, 15:57
Re: Numeri cortesi e scortesi
Si ho letto ora il commento di C3POletto e funziona