Problema 4.

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Maionsss
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Problema 4.

Messaggio da Maionsss » 28 giu 2018, 23:50

Per capire cosa sta succedendo date un occhiata al topic di PG93 :wink:
Tocca dunque a me proporre ora un problema, che sarà un po' meno facile, ma molto carino :D
Determinare la somma di tutti gli interi $ a, b $ con $ 0 < a < b $ che verificano la seguente relazione :
$ 3\cdot {m.c.m. (a,b)} + 5 \cdot {M. C.D.(a,b)}=123 $

sg_gamma
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Re: Problema 4.

Messaggio da sg_gamma » 29 giu 2018, 14:48

Testo nascosto:
Evito LaTeX per rapidità. Si vede che 123 = 3*41, per cui (41,0) è una soluzione della diofantea. Si ha però che deve valere mcm>MCD>=1 e che tutti i fattori di MCD devono comparire in mcm con almeno lo stesso esponente. Inoltre si sa che mcm*MCD=ab. Prendiamo in considerazione le soluzioni della diofantea che rispettano la disuguaglianza: (36,3); (31,6); (26,9); (21;12); (16;15). Di queste solo (36,3) è accettabile perchè i fattori del MCD non compaiono in mcm negli altri casi. Allora ab = 36*3 = 2^2*3^3; esistono 12 divisori e perciò 12 coppie ordinate di divisori. Siccome 108 non è un quadrato perfetto, di queste 12 solo la metà sono tali che a<b e, ancora, bisogna ricordare che MCD=3, perciò bisogna considerarne ancora meno. Tutte le coppie valide risultano allora (3,36); (9,12); (6,18) e, se ho capito bene cosa intendi, la risposta è 3+36+9+12+6+18 = 84.

Maionsss
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Re: Problema 4.

Messaggio da Maionsss » 29 giu 2018, 14:59

Il ragionamento è giusto però c'è una coppia "di troppo" :?

sg_gamma
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Re: Problema 4.

Messaggio da sg_gamma » 29 giu 2018, 16:08

/facepalm
Ignora (6,18) perfavore

Maionsss
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Re: Problema 4.

Messaggio da Maionsss » 29 giu 2018, 20:01

Esatto quindi togliendo la coppia (6,18) la somma esce 60 ed è giusto. Ora sta a te proporre un problema :D

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