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Sia [math]a(1),a(2)...a(n) una sequenza definita come [math]a(n+1)=4a(n)-a(n-1) per ogni n>1con [math]a(1)=3, a(2)=11 . Dimostrare che ogni termine della sequenza può essere espresso come [math]a^2+2b^2 per certi a,b interi

Notiamo che se [math]a_{n - 1} = x^2 + 2y^2 e [math]a_{n} = (x + 2y)^2 + 2y^2 per certi interi [math]x, y, allora [math]a_{n + 1} = 4[(x + 2y)^2 + 2y^2] - (x^2 + 2y^2) = (x + 2y)^2 + 2(x + 3y)^2 e [math]a_{n + 2} = 4[(x + 2y)^2 + 2(x + 3y)^2] - [(x+2y)^2 + 2y^2] = (3x + 8y)^2 + 2(x + 3y)^2. A questo punto, ponendo [math]x_{1} = x + 2y e [math]y_{1} = x + 3y, è possibile ripetere la costruzione precedente. D'altronde, [math]a_{1} = 3 = 1^2 + 2(1^2) e [math]a_{2} = 11 = (1 + 2 * 1)^2 + 2(1^2), quindi ogni termine della successione è esprimibile nella forma [math]a^2 + 2b^2 con [math]a, b interi.