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1) Dimostrare che per ogni $m$ intero positivo esiste un unico sottoinsieme finito $S_m \subset \mathbb{Z}$ tale che:

- $\forall n \in S_m,\;n+1 \notin S_m$;
- $m=\sum\limits_{n \in S_m} \varphi^n$, dove $\varphi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$.

2) Calcolare la densità asintotica degli $m$ tali che $0 \in S_m$.

Scusami, ma c'è qualcosa che non mi torna: si può dimostrare per induzione che $\varphi^n=F_{n}\varphi+F_{n-1}$ per $n \ge 2$, dunque $\sum\limits_{2 \le n \in S_m} \varphi^n=\sum\limits_{2 \le n \in S_m} (F_{n}\varphi+F_{n-1})=(\sum\limits_{2 \le n \in S_m} F_n)\varphi + (\sum\limits_{2 \le n \in S_m} F_{n-1})$ e aggiungendo eventualmente a uno dei due coefficienti eventualmente un $1$ dovrei ottenere $m$, questo vuol dire che, dato che $\varphi$ non è razionale, $\sum\limits_{2 \le n \in S_m} F_n=0$, ma questo è chiaramente falso per $m$ abbastanza grande... Cosa c'è che non va?

Non viene mai detto che $n \geq 0$ ed effettivamente, se fosse sempre positivo, non penso che possa tornare il fatto che $m$ è intero

Giusto