OliForum Matematico

Mostrare che per ogni $n\geq 2$ naturale si ha che l'espressione
\begin{equation}
1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i}
\end{equation}
non è un numero intero.

Ho visto la soluzione. Molto bravo! Tra l'altro ad aver trovato questa stessa soluzione (o una simile) c'è il prof. Pete L. Clark, come lui stesso racconta in "A contemporary introduction to modern Number Theory", una dispensa che potete trovare sul suo sito.
Comunque c'è una soluzione che non richiede di alcun risultato particolare di TdN...

la stessa ma con il fattore 2. Esiste un unico fattore con valutazione $2$-adica maggiore quindi denom e num non si semplificano (in particolare uscirebbe $\frac{a}{b}=\frac{1}{2}$ con $a, b$ dispari)

Esatto! Non mi è chiaro solo quando dici che uscirebbe $a/b=1/2$ ma l'idea è quella che hai detto.

TeoricodeiNumeri ha scritto: ↑16 mag 2020, 18:52 Mostrare che per ogni $n\geq 2$ naturale si ha che l'espressione
\begin{equation}
1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i}
\end{equation}
non è un numero intero.

Bonus
Dimostrare che per ogni $n\geq 1$ naturale si ha che l’espressione
\begin{equation}
1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2n+1}
\end{equation}
non è un numero intero.