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Si trovino le terne di numeri reali x,y,z con la proprietà che la quarta potenza di ciascuno di essi è uguale alla somma degli altri due.
Dalla definizione si ha:
\[ x^4 = y + z (1) \]
\[ y^4 = x + z (2) \]
\[ z^4 = x + y (3) \]
Facendo (1)-(2) e scomponendo la differenza di quadrati si ha \[ (x - y)(x + y)(x^2 + y^2) = y - x (4) \]
Semplificando si ha che il lato sinistro deve essere uguale a -1, essendo la somma dei quadrati positivi si ricava che x + y < 0. Analogamente per simmetria si ricavano anche y + z < 0 e x + z < 0
Ora, assumiamo per comodità che x>y>z. Da x+y<0 si ha che almeno uno dei due sia negativo, ed essendo x>y si ricava che y<0 e conseguentemente anche z<0 (usando la nostra assunzione).
X invece può essere sia positivo che negativo.
Però, tornando alla (1) vediamo che x^4 è uguale a y+z che sono entrambi negativi, che è un assurdo perché x^4 è positivo.

L'unica possibilità è che abbiamo fatto casini prima e che non potevamo semplificare x-y nella (4), si ricava quindi che x=y.
A questo punto riscriviamo la (1) sapendo che y=x:
\[ x^4 = x + z (5) \]
Dalla (3) ricavo che
\[ z = (2x)^{1/4} \]
Da cui la (1) diventa
\[ x^4 = x + (2x)^{1/4} \]
Graficamente si ha che la x^4 ha una forma a "parabola" e che il lato destro è una retta un pochettino curva, ma che cresce meno velocemente di x^4. Di conseguenza si intersecano in soli due punti: 0 e un punto tra 1 e 2. (E le rispettive terne sono (0,0,0) e (p,p,(2p)^1/4) con p il punto, e ovviamente le varie permutazioni di questa seconda).

Ho postato questo post per 2 motivi, il primo è non saprei come calcolare il punto(se non usando una calcolatrice grafica), o se comunque la soluzione che ho pensato fosse giusta in quanto mi sembrano strani due soli punti, il secondo era discutere questo problema in modo che possa essere d'aiuto ad altri in quanto non ho trovato soluzioni già postate online.

I miei calcoli si riferiscono al solo caso $y=x$, che tu tratti in fondo; i dati forniscono allora le due formule
$x^4=x+z$
$z^4=2x$
Dalla seconda ricavo $x=\frac 1 2 z^4$ e lo sostituisco nella prima, che diventa
$\frac 1 {16} z^{16}=\frac 1 2 z^4+ z$

$z^{16}=8z^4+16$

$z(z^{15}-8z^3-16)=0$
Una prima soluzione è data da $z=0$, da cui ricavo $x=0$.
Oppure può annullarsi il contenuto della tonda; posto $z^3=2u$ ottengo
$32u^5-16u-16=0$

$2u^5-u-1=0$

$(u-1)(2u^4+2u^3+2u^2+2u+1)=0$
Una soluzione è data da $u=1$ e con pochi passaggi se ne ricava $z=2^{\frac 1 3}$ e poi $x=2^{\frac 1 3}$
Oppure può annullarsi il secondo fattore, e lo scrivo come
$u^4+u^4+2u^3+u^2+u^2+2u+1=0$

$u^4+(u^2+u)^2+(u+1)^2=0$
che non ha soluzioni reali perché il primo membro è la somma di quadrati che non possono annullarsi contemporaneamente.

Conclusione: se due incognite sono uguali, anche la terza è uguale e possono valere $0$ oppure $2^{\frac 1 3}$

Oh, vero potevo considerarla al contrario, sono un idiota ahah. Grazie mille.

Ed anch'io mi do dell'idiota perché c'era una risposta molto più semplice.
Dopo aver dimostrato che deve essere $y=x$ continuo dicendo che in modo analogo si dimostra $z=x$, quindi le tre incognite sono uguali fra loro e dai dati deriva l'equazione
$x^4=2x$
di facilissima soluzione.