34!
34!
Spostato da MindFlyer
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Un problema dice :
Il grande capo ha stabilito che il budget a disposizione della sua industria sarà 34!
Ovvero il prodotto di tutti gli interi tra 1 e 34. Un socio esegue il calcolo con un computer e ottiene il seguente stampato:
34!= 295232799??96041408476186096435??000000
Purtroppo la stampante ha sostituito 4 cifre con dei punti interrogativi.
Determinare i seguenti numeri.
PS: senza usare calcolatrici
Chi sa trovare la risposta, potrebbe spiegare il procedimento?
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Un problema dice :
Il grande capo ha stabilito che il budget a disposizione della sua industria sarà 34!
Ovvero il prodotto di tutti gli interi tra 1 e 34. Un socio esegue il calcolo con un computer e ottiene il seguente stampato:
34!= 295232799??96041408476186096435??000000
Purtroppo la stampante ha sostituito 4 cifre con dei punti interrogativi.
Determinare i seguenti numeri.
PS: senza usare calcolatrici
Chi sa trovare la risposta, potrebbe spiegare il procedimento?
Roberto
Ciao e benvenuto!
Come avrai notato il forum ha diverse sezioni. Qui il problema è OT (Off topic... insomma non c'entra con questa sezione ); potresti riproporlo, ad esempio, in teoria dei numeri, a meno che qualche moderatore non lo lanci li prima.
Se vuoi provare a risolvere il problema da solo, ti consiglio di usare i criteri di divisibilità
Come avrai notato il forum ha diverse sezioni. Qui il problema è OT (Off topic... insomma non c'entra con questa sezione ); potresti riproporlo, ad esempio, in teoria dei numeri, a meno che qualche moderatore non lo lanci li prima.
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Fondatore: [url=http://olimpiadi.dm.unipi.it/oliForum/viewtopic.php?t=8899]Associazione non dimenticatevi dei nanetti![/url]
Membro: Club Nostalgici
Sono troppo scarso in italiano per usare parole con la c o la q...
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Che l'autore sia Massimo Gobbino è presto smentito, visto che (rimossi gli orpelli del caso, cioè la stampante e tutte quelle altre graziose [...] amenaglie) si tratta di un problema della British Mathematical Olympiad 2002/2003, peraltro già discusso sulle pagine del vecchio forum ben prima che volgesse il 2005, benché non sia riuscito a ritrovarlo. Che sia stato *ri*proposto dal suddetto, in una veste un po' carnevalesca, in occasione della Coppa Fermat 2005, beh... questo è invece possibilissimo.MindFlyer ha scritto: Ora, se non erro questo problema viene dalla Coppa Fermat 2005, e l'autore è Massimo Gobbino.
From the British Mathematical Olympiad 2002/2003.
Given that $ 34! = 295232799cd96041408476186096435ab000000 $, determine the digits $ a, b, c, d $.
Soluz.: innanzitutto $ a, b, c, d \in \mathcal{D}_{10} = \{0, 1, \ldots, 9\} $, poiché è fatta implicita assunzione di operare in base decimale. Per ogni primo naturale $ p $, sia adesso $ v_p $ la valutazione $ p $-adica di $ 34! $, i.e. il massimo esponente intero $ k $ t.c. $ p^k \mid 34! $. Dall'identità di Legendre-De Polignac: $ \displaystyle v_p = \sum_{t=1}^{\infty} \left\lfloor \frac{34}{p^t}\right\rfloor $, per cui (in particolare) $ v_2 \geq 10 $, $ v_3 \geq 2 $, $ v_5 = 7 $ e $ v_{11} \geq 1 $. Ergo $ 10^7\;||\; 34! $, e perciò necessariamente $ b = 0 $. Inoltre $ 0 \equiv 34! \equiv (350 + a)\cdot 10^7 \bmod 2^{10} $, donde $ 0 \equiv \equiv a - 2 \bmod 8 $ ed $ a = 2 $.
Siano adesso $ s_p $ ed $ s_d $, rispettivamente, la somma delle cifre decimali di posto pari e di posto dispari del fattoriale di $ 34 $. Risulta $ s_p = 80 + d $ ed $ s_d = 61 + c $. Eppure $ 34! \equiv 0 \bmod 11 $, per cui $ s_p \equiv s_d \bmod 11 $, viz $ d - c = 3 + 11k $, per qualche $ k\in\mathbb{Z} $. Analogamente $ 34! \equiv 0 \bmod 9 $, e pertanto $ 0 \equiv s_p + s_d \equiv c + d - 3 \bmod 9 $, ovvero $ c + d = 3 + 9h $, per qualche $ h\in\mathbb{N} $. Poiché $ c, d \in \mathcal{D}_{10} $, se ne conclude prontamente che l'unica soluzione possibile è ottenuta ammettendo $ d - c = c + d = 3 $, e quindi $ c = 0 $ e $ d = 3 $. Fine della storia...
Very very important: QUESTO E' IL MIO 1000-ESIMO MESSAGGIO! Nessuno che mi faccia gli auguri e soffi le candeline assieme a me? Almeno per una volta, siatemi buoni, Cristo santo, essù...
Given that $ 34! = 295232799cd96041408476186096435ab000000 $, determine the digits $ a, b, c, d $.
Soluz.: innanzitutto $ a, b, c, d \in \mathcal{D}_{10} = \{0, 1, \ldots, 9\} $, poiché è fatta implicita assunzione di operare in base decimale. Per ogni primo naturale $ p $, sia adesso $ v_p $ la valutazione $ p $-adica di $ 34! $, i.e. il massimo esponente intero $ k $ t.c. $ p^k \mid 34! $. Dall'identità di Legendre-De Polignac: $ \displaystyle v_p = \sum_{t=1}^{\infty} \left\lfloor \frac{34}{p^t}\right\rfloor $, per cui (in particolare) $ v_2 \geq 10 $, $ v_3 \geq 2 $, $ v_5 = 7 $ e $ v_{11} \geq 1 $. Ergo $ 10^7\;||\; 34! $, e perciò necessariamente $ b = 0 $. Inoltre $ 0 \equiv 34! \equiv (350 + a)\cdot 10^7 \bmod 2^{10} $, donde $ 0 \equiv \equiv a - 2 \bmod 8 $ ed $ a = 2 $.
Siano adesso $ s_p $ ed $ s_d $, rispettivamente, la somma delle cifre decimali di posto pari e di posto dispari del fattoriale di $ 34 $. Risulta $ s_p = 80 + d $ ed $ s_d = 61 + c $. Eppure $ 34! \equiv 0 \bmod 11 $, per cui $ s_p \equiv s_d \bmod 11 $, viz $ d - c = 3 + 11k $, per qualche $ k\in\mathbb{Z} $. Analogamente $ 34! \equiv 0 \bmod 9 $, e pertanto $ 0 \equiv s_p + s_d \equiv c + d - 3 \bmod 9 $, ovvero $ c + d = 3 + 9h $, per qualche $ h\in\mathbb{N} $. Poiché $ c, d \in \mathcal{D}_{10} $, se ne conclude prontamente che l'unica soluzione possibile è ottenuta ammettendo $ d - c = c + d = 3 $, e quindi $ c = 0 $ e $ d = 3 $. Fine della storia...
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Allora, probabilmente erro.HiTLeuLeR ha scritto:Che l'autore sia Massimo Gobbino è presto smentitoMindFlyer ha scritto: Ora, se non erro questo problema viene dalla Coppa Fermat 2005, e l'autore è Massimo Gobbino.
In ogni caso mi ricordo d'averlo visto tra le proposte di Max per la gara, anche se non potrei giurare che sia stato dato effettivamente. Abbiamo cercato di scremare tenendo solo i problemi più facili, e questo mi pare un po' out of bounds...
- enomis_costa88
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- Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
- Località: Brescia
Non so se è stato dato alla coppa Fermat ma a Brescia era l'ultimo problema della Coppa Tartaglia..meglio conoscita come Disfida matematica..
tra l'altro (se a qualcuno interessa) avrei qualche aneddoto da raccontare sulla soluzione di questo problema (o meglio sulla mancata soluzione ha impedito alla mia squadra di arrivare seconda..).
Mi sembra che questo problema sia stato risolto solo dalla Ciurma del capitano Jack Sparrow (a cui faccio gli auguri e i complimenti per Pisa se mai leggerà questo messaggio) e da me ma solo dopo la gara
Ps anche io avevo usato la divisibilità per 11; 5^7;9 e 1024*10^7 ovvero 2^10*10^7 analizzando la divisibilità per 8..ma ci sono altre soluzioni?
tra l'altro (se a qualcuno interessa) avrei qualche aneddoto da raccontare sulla soluzione di questo problema (o meglio sulla mancata soluzione ha impedito alla mia squadra di arrivare seconda..).
Mi sembra che questo problema sia stato risolto solo dalla Ciurma del capitano Jack Sparrow (a cui faccio gli auguri e i complimenti per Pisa se mai leggerà questo messaggio) e da me ma solo dopo la gara
Ps anche io avevo usato la divisibilità per 11; 5^7;9 e 1024*10^7 ovvero 2^10*10^7 analizzando la divisibilità per 8..ma ci sono altre soluzioni?
Io l'ho fatto con le stesse congruenze... credo che ci si possa girare intorno, ma la soluzione è quella. Dopotutto sono 4 cifre, a costo di fare un sistema lineare si arriva alla fine
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- enomis_costa88
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scusami Hit ma non capisco il senso del tuo messaggio?HiTLeuLeR ha scritto: a storia della coppa Tatà-tartaglia
la Disfida (chiamata anche coppa Tartaglia dallo pseudonimo di un celebrerrimo matematico bresciano Nicolò Fontana sopprannominato TartaJa in Bresciano balbuziente) è la gara a squadre svoltasi a Brescia. Penso che i quesiti fossero gli stessi della coppa Fermat.
Ps ma non c'è nessuno (se ci sono e gli admin lo permettono che battano un colpo!) che bazzica su questo forum tra coloro che c'erano alla Disfida??
Nota Storica: la disfida è il nome di una gara posta da Del Fiore (allievo di Scipione Del Ferro) a Fontana. Questa sfida consisteva in trenta (trenta ciascuno quindi sessanta) problemi risolvibili con equazioni di terzo grado (almeno credo personalmente non ho mai provato a risolverli qualcuno confermi \ smantisca)..finì con una vittoria stracciante per il Bresciano (30-0).
PPS ha ragione Hit era già stato postato sul forum..ho trovato dove: http://olimpiadi.ing.unipi.it/oliForum/ ... php?t=3080