divisibilità, sns 1991-1992

[ant.py]

Prendi $ S = \{1,2, \dots , n\} $

Allora $ A(S) = \displaystyle \frac{n(n+1)}{2n} = \frac{n+1}{2} $
$ G(S) = \displaystyle \sqrt[n]n! $

E dal momento che sai che $ A(S) \ge G(S) $, concludi facilmente.. C'è ovviamente la disuguaglianza stretta in questo caso

Cmq mi pare ci sia un teorema che stabilisce che $ \displaystyle \sqrt[a]b $ o è intero o é irrazionale, e da li si conclude immediatamente

[Robertopphneimer]

e da li si conclude immediatamente

allora io ho dimostrato :
$ AM=GM quando $
$ n_1= n_" =...= n $
perciò essendo valida solo per n=1 poiché $ n+1/2 = \sqrt[n]{n!} $ solo quando n=1 per n>1 AM diversa da GM (non ho dimostrato il maggiore).
Perciò mio sono buttato sull'analisi.

$ f(x)=n+1/2 g(x) =\sqrt[n]{n!} $

f(2) > g(2) essendo monotone(?)crescenti allora la condizione sarà sempre valida!!!

[ant.py]

Allora, la disuguaglianza fra medie non va dimostrata (è un risultato ben noto e la dimostrazione puo essere complicata per più di 3 termini)

L'approccio analitico in generale é un suicidio.. Cmq se non mi sbaglio non basta dimostrare che sono montone crescenti entrambe perchè, per esempio, g(x) puo crescere più velocemente di f(x).. Dovresti prendere la funzione

F(x) = f(x) -g(x) e dimostrare che F(x) é sempre maggiore di zero, però non vedo l'utilita di questo approccio..

Ps aggiusta un po' il latex

[Robertopphneimer]

mmmh...hai ragione!! cavolo non ci avevo pensato...comunque si in effetti hai ragione ma come posso dimostrare che quella funzione è maggiore di zero?? tipo quando faccio uno studio di funzione e eseguo la diseguaglianza???

Ps:in quanto ai risultati ben noti ho bisogno di studiarli meglio perché a volte qui si danno per contate delle cose del tipo AM > GM che io non so e le dimostrazioni fanno paura.

[ant.py]

mmmh...hai ragione!! cavolo non ci avevo pensato...comunque si in effetti hai ragione ma come posso dimostrare che quella funzione è maggiore di zero?? tipo quando faccio uno studio di funzione e eseguo la diseguaglianza???

Ps:in quanto ai risultati ben noti ho bisogno di studiarli meglio perché a volte qui si danno per contate delle cose del tipo AM > GM che io non so e le dimostrazioni fanno paura.

Più o meno.. Ma poi diventa un problema di analisi e non più di TdN.. Cmq per le disuguaglianze fra media ecco una buona dispensa: http://olimpiadi.sns.it/downloads/ind-dis.pdf

[Robertopphneimer]

[quote nome="ant.py"]

Più o meno.. Ma poi diventa un problema di analisi e non più di TdN.. Cmq per le disuguaglianze fra media ecco una buona dispensa: [/quote]
Noooooo mi hai salvato la vita!! dando una rapida occhiata qua c'è quasi tutto ciò che mi serve..perché io cado nelle successioni n-multiple..ed ora sto scoprendo i metodo d'induzione...carino!! potrebbe servirmi molto nelle n dimostrazioni..ora manca geometria e statistica!! :S

[Robertopphneimer]

Una cosa..non caèpisco la formula della convessità della funzione...io ho sempre saputo che $ f'(x_0)> f(x_0) $