sns 2006-2007, es. 3
però che roba.......Per questa come per ogni altra informazione, sarebbe meglio cercare da soli un poco, prima di chiedere :
http://olimpiadi.ing.unipi.it/oliForum/ ... php?t=5749
http://olimpiadi.ing.unipi.it/oliForum/ ... php?t=5749
-
HomoPatavinus
- Messaggi: 54
- Iscritto il: 23 mag 2006, 16:32
- Località: Padova
Un'altra dimostrazione, qualcuno mi dice se è sbagliata e dove?
$ 4^x + 4^y + 4^z = n^2 $
posto n > 1, possiamo scriverlo come un binomio del tipo (m + n)^2
ora Affinchè l'uguaglianza sia vera uno tra i membri in LHS deve essere il doppio prodotto di due quadrati, poichè tutti e tre sono quadrati perfetti possiamo sceglierne albitrariamente uno. Consideriamo 4^z come il doppio prodotto del binomio
$ (2^x + 2^y)^2= 4^x + 4^y + 2^{x + y + 1} $ dunque abbiamo che $ z= \frac{x + y + 1}{2} $. Affinchè sia valida dobbiamo avere
$ 2 | x + y +1 $ Dunque le soluzioni sono tutte quelle della forma $ (x, y , \frac{x + y+ 1}{2}) $ t.c x + y+ 1 = 2k
Sbaglio? dove?
EDIT: (grazie edriv) mi manca il secondo punto della dimostrazione, vedo se riesco a finirlo. Sorry
EDIT2: proviamo a dimostrare che sono tutte e sole
allora abbiamo detto che x + y+ 1 = 2k
dunque uno tra x e y deve essere pari e l'altro dispari
sia x=2t e y=2m +1 z può essere sia pari che dispari
Dimostriamo che sono le uniche soluzioni, le altre due alternative infatti sarebbero o tutti gli esponenti pari o tutti gli esponenti dispari.
Tutte le potenze di 4 pari modulo 5 sono congrue a 1 dunque
$ -1 - 1 - 1 \equiv 2 \mod 5 $, ma poichè i quadrati mod 5 sono congrui o a 1 o a -1 o a 0 allora non esistono soluzioni di questo tipo.
Nel caso in cui invece si considerano tutti gli esponenti dispari abbiamo che le potenze di 4 modulo 5 sono congrue a 1, dunque
$ 1 + 1 + 1 \equiv -2 \mod 5 $. Anche in questo caso non ci sono soluzioni
EDIT3: manca ancora da dimostrare che non ci sono quadrati esprimibili in maniera diversa da quel quadrato di binomio (grazie ani, phi, sisifo)
$ 4^x + 4^y + 4^z = n^2 $
posto n > 1, possiamo scriverlo come un binomio del tipo (m + n)^2
ora Affinchè l'uguaglianza sia vera uno tra i membri in LHS deve essere il doppio prodotto di due quadrati, poichè tutti e tre sono quadrati perfetti possiamo sceglierne albitrariamente uno. Consideriamo 4^z come il doppio prodotto del binomio
$ (2^x + 2^y)^2= 4^x + 4^y + 2^{x + y + 1} $ dunque abbiamo che $ z= \frac{x + y + 1}{2} $. Affinchè sia valida dobbiamo avere
$ 2 | x + y +1 $ Dunque le soluzioni sono tutte quelle della forma $ (x, y , \frac{x + y+ 1}{2}) $ t.c x + y+ 1 = 2k
Sbaglio? dove?
EDIT: (grazie edriv) mi manca il secondo punto della dimostrazione, vedo se riesco a finirlo. Sorry
EDIT2: proviamo a dimostrare che sono tutte e sole
allora abbiamo detto che x + y+ 1 = 2k
dunque uno tra x e y deve essere pari e l'altro dispari
sia x=2t e y=2m +1 z può essere sia pari che dispari
Dimostriamo che sono le uniche soluzioni, le altre due alternative infatti sarebbero o tutti gli esponenti pari o tutti gli esponenti dispari.
Tutte le potenze di 4 pari modulo 5 sono congrue a 1 dunque
$ -1 - 1 - 1 \equiv 2 \mod 5 $, ma poichè i quadrati mod 5 sono congrui o a 1 o a -1 o a 0 allora non esistono soluzioni di questo tipo.
Nel caso in cui invece si considerano tutti gli esponenti dispari abbiamo che le potenze di 4 modulo 5 sono congrue a 1, dunque
$ 1 + 1 + 1 \equiv -2 \mod 5 $. Anche in questo caso non ci sono soluzioni
EDIT3: manca ancora da dimostrare che non ci sono quadrati esprimibili in maniera diversa da quel quadrato di binomio (grazie ani, phi, sisifo)