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Dimostrare che i numeri della forma $ 4^{\alpha}(8k+7) $ non sono esprimibili come somme di tre quadrati.

Nota: in realtà sono gli unici che non possono essere espressi, ma è difficile dimostrarlo, e servono tecniche piuttosto avanzate...

Supponiamo $ 4^\alpha(8k + 7) = x^2 + y^2 + z^2 $ con $ \alpha \geq 1 $. Allora $ x^2 + y^2 + z^2 \equiv 0 \pmod 4 $. Quindi x, y, z sono pari e $ 4^{\alpha-1}(8k + 7) = x_{1}^2 + y_{1}^2 + z_{1}^2 $. Si continua fino a che $ 8k + 7 = x_{n}^2 + y_{n}^2 + z_{n}^2 $. Poichè i residui quadratici modulo 8 sono 0, 1, 4 si ottiene una contraddizione in quanto il membro di destra non è mai congruo a 7.

Perfetto

Per completezza, aggiungo che i numeri non esprimibili come somma di tre quadrati sono esattamente quelli della forma $ 4^\alpha(8k+7) $, ma dubito che esista una dimostrazione che può stare in questa sezione del forum...

Spider

Stoppa2006 ha scritto:Nota: in realtà sono gli unici che non possono essere espressi, ma è difficile dimostrarlo, e servono tecniche piuttosto avanzate...

... ipse dixit...

oops, non l'avevo visto

A mia discolpa c'è il fatto che la scritta era veramente in piccolo

Spider