Semplice e carino

[RiccardoKelso]

Date $n$ paia di guanti, si distribuiscono casualmente a $n$ persone $2$ guanti a testa. Qual è la probabilità che ognuno riceva un guanto sinistro e uno destro?

[Vinci]

Testo nascosto:

Se mettiamo le persone in fila, indichiamo i quanti destri con la lettera $D$ e quelli sinistri con la lettera $S$, le configurazioni favorevoli sono solo quattro; $\underbrace{ DSDS...DS }_{n\ volte}$, $\underbrace{ SDSD...SD }_{n\ volte}$, $\underbrace{ SDDS... }_{n\ volte}$ e $\underbrace{ DSSD... }_{n\ volte}$ mentre quelle possibili sono gli anagrammi di una parola formata da $n$ $D$ ed $n$ $S$. La probabilità sarà il loro rapporto $$\dfrac{4}{\binom{2n}{n}}=\dfrac{2(n-1)...2\cdot 1}{(2n-1)...(n+1)}$$

[RiccardoKelso]

Attento, c'è qualche configurazione favorevole in più. Per il resto fila tutto liscio

[Vinci]

Oooooooops... modifico subeeto

[RiccardoKelso]

Ehm.. Tante di più

Testo nascosto:

ogni coppia può essere disposta in modo indipendente dalle altre

[Ilgatto]

Ciao,
Io ho trovato questa soluzione:
$ \displaystyle\prod_{k=1}^n \frac {k}{2k-1} $

In pratica è sufficiente considerare che alla prima persona dò prima un guanto qualsiasi, poi ne devo dare uno diverso, che posso scegliere tra gli $n$ rimasti di tipo "diverso" su $2n-1$ totali, poi vado avanti fino all'ultima persona moltiplicando tutte le probabilità che ognuno ha di trovare guanti diversi.

[RiccardoKelso]

Ed è giusta, prova a trovare una formula "chiusa" per esprimere quella quantità!

[Ilgatto]

Potrei scriverla come $ \frac {n!} {(2n-1)!!} $
Non mi sembra ci siano altri modi per scriverla. Per chi non lo sapesse il doppio punto esclamativo indica il semifattoriale, cioè, in questo caso, il prodotto di tutti i numeri dispari da $1$ a $2n-1$.

[RiccardoKelso]

Il semifattoriale può essere scritto combinando opportunamente fattorali e potenze, esplicito come in spoiler

Testo nascosto:

$(2n-1)!!=\frac{(2n)!}{2^nn!}$

[Emarossi]

Provo a postare anche la mia soluzione sperando che sia giusta.....
Chiamando S un guanto sinistro e D un guanto che calza alla destra mi immagino come Vinci di mettere le persone in fila, le configurazioni giuste ce l'ho quando ogni persona riceve SD o DS quindi ho $2^n$ configurazioni corrette. Il totale delle configurazione lo ottengo anagrammando DD...DSS.......S dove D ed S compaiono $n$ volte ed equivale a $\binom{2n}{n}$. Quindi la probabilità cercata è $\frac{2^n}{\binom{2n}{n}}$