SNS 2008/2009 Problema 5

[Pigkappa]

Sia $ \displaystyle P $ un poliedro convesso.

1)Si supponga che $ \displaystyle P $ abbia un numero dispari di facce e che tutte le facce abbiano lo stesso numero $ \displaystyle k $ di lati. Dimostrare che $ \displaystyle k=4 $.
2)Si supponga che, scelte due facce $ \displaystyle F_1 $ e $ \displaystyle F_2 $ qualsiasi di $ \displaystyle P $, esista sempre una rotazione dello spazio che mandi $ \displaystyle F_1 $ su $ \displaystyle F_2 $ lasciando $ \displaystyle P $ invariato. Dimostrare che $ \displaystyle P $ ha un numero pari di facce.


L'argomento, come è ovvio, è sul limite tra combinatoria e geometria.