lungi dal 7!!!

Conteggi, probabilità, invarianti, logica, matematizzazione, ...
Rispondi
Passo89
Messaggi: 10
Iscritto il: 30 ago 2008, 14:47

lungi dal 7!!!

Messaggio da Passo89 »

determinare quanti sono gli interi di k cifre con k cifre tutte diverse da 7;
dimostrare che la somma di tutti gli inversi dei numeri tutti con k cifre diverse da 7
è minore/uguale a 8 per ogni k
Saluti a tutti i matematici schizzati che mettono
e rispondono a quesiti su questo forum....
Stex19
Messaggi: 139
Iscritto il: 26 mar 2008, 15:12
Località: Genova

Re: lungi dal 7!!!

Messaggio da Stex19 »

Passo89 ha scritto:determinare quanti sono gli interi di k cifre con k cifre tutte diverse da 7;
dimostrare che la somma di tutti gli inversi dei numeri tutti con k cifre diverse da 7
è minore/uguale a 8 per ogni k
il primo punto lo so fare... sono $ 8 \cdot 9^{k-1} $ infatti la prima cifra non puo essere ne zero ne sette

il 2° per ora lo lascio... :D
String
Messaggi: 225
Iscritto il: 01 giu 2008, 17:21

Messaggio da String »

Il più piccolo numero di k cifre è $ 1\cdot 10^k $. Il suo inverso sarà quindi il termine maggiore. Sia $ a $ il numero degli interi di k cifre tutte diverse da 7. Allora:
$ $ a\cdot \frac {1}{1\cdot 10^k}> $ della somma di tutti gli inversi di tutti i numerri di k cifre, ma se pongo
$ $ a\cdot \frac {1}{1\cdot 10^k}\leq 8 $ allora si ha
$ $ 8\cdot 9^{k-1}\cdot \frac {1}{1\cdot 10^k}\leq 8\Rightarrow 8\cdot 9^{k-1}\leq 8\cdot 10^{k-1} $ che è ovviamente sempre vera. La tesi quindi dovrebbe essere dimostrata.
"fatti non foste a viver come bruti,
ma per seguir virtute e canoscenza"(Dante)
ico1989
Messaggi: 155
Iscritto il: 16 ott 2007, 23:17

Messaggio da ico1989 »

String ha scritto:Il più piccolo numero di k cifre è $ 1\cdot 10^k $
$ 1 \cdot 10^{k-1} $ ?
Avatar utente
Algebert
Messaggi: 330
Iscritto il: 31 lug 2008, 20:09
Località: Carrara
Contatta:

Messaggio da Algebert »

Si, penso intenda quello :roll: , altrimenti la disuguaglianza alla fine non torna.
E se non ricordo male questo era il primo problema dell'ammissione alla Sant'Anna quest'anno 8) .
"[i]What is a good Olympiad problem?[/i] Its solution should not require any prerequisites except cleverness. A high scool student should not be at a disadvantage compared to a professional mathematician."
Rispondi