Il caso al teatro

Conteggi, probabilità, invarianti, logica, matematizzazione, ...
minima.distanza
Messaggi: 131
Iscritto il: 11 giu 2010, 17:56
Località: Milano, in provincia...

Il caso al teatro

Messaggio da minima.distanza » 19 nov 2010, 15:46

posto qui un problema che mi è stato posto da un mio amico, che non richiede soluzione numerica a causa della laboriosità dei conti, ma l'impostazione è sufficente ( se qualcuno trova un metodo per svolgere tutti i calcoli, lo posti pure...). Io l'ho risolto credo, ma non so se correttamente.

Un teatro ha 200 posti che sono tutti prenotati.Gli spettatori entrano in fila e il primo si siede in un posto a caso. Gli altri, entrando sempre uno dopo l'altro, si siedono ai loro posti finchè non arriva il possessore del posto "rubato" dal primo ( sempre che il primo abbia rubato il posto a qualcuno...) che si va a sedere in un posto a caso. Tutti quelli che vengono dopo lo spettatore defraudato del suo posto, si siedono a casaccio. Determinare qual'è la probabilità che l'ultimo entrato si sieda al suo posto.

Spero di essere stato chiaro, buon lavoro :D

Avatar utente
karlosson_sul_tetto
Messaggi: 1437
Iscritto il: 10 set 2009, 13:21
Località: Napoli

Re: Il caso al teatro

Messaggio da karlosson_sul_tetto » 19 nov 2010, 19:50

minima.distanza ha scritto:posto qui un problema che mi è stato posto da un mio amico, che non richiede soluzione numerica a causa della laboriosità dei conti, ma l'impostazione è sufficente ( se qualcuno trova un metodo per svolgere tutti i calcoli, lo posti pure...). Io l'ho risolto credo, ma non so se correttamente.

Un teatro ha 200 posti che sono tutti prenotati.Gli spettatori entrano in fila e il primo si siede in un posto a caso. Gli altri, entrando sempre uno dopo l'altro, si siedono ai loro posti finchè non arriva il possessore del posto "rubato" dal primo ( sempre che il primo abbia rubato il posto a qualcuno...) che si va a sedere in un posto a caso. Tutti quelli che vengono dopo lo spettatore defraudato del suo posto, si siedono a casaccio. Determinare qual'è la probabilità che l'ultimo entrato si sieda al suo posto.

Spero di essere stato chiaro, buon lavoro :D
Piccola domanda: dopo quello a cui hanno "rubato" il posto, ognuno ch viene si siede al suo posto, se è libero, oppure siede a casaccio?
"Inequality happens"
---
"Chissa se la fanno anche da asporto"

minima.distanza
Messaggi: 131
Iscritto il: 11 giu 2010, 17:56
Località: Milano, in provincia...

Re: Il caso al teatro

Messaggio da minima.distanza » 19 nov 2010, 20:43

Dopo che viene quello a cui è stato rubato il posto dal primo arrivato ( che si siede a caso), tutti si siedono a caso. Compreso quello a cui hanno rubato il posto

Avatar utente
karlosson_sul_tetto
Messaggi: 1437
Iscritto il: 10 set 2009, 13:21
Località: Napoli

Re: Il caso al teatro

Messaggio da karlosson_sul_tetto » 19 nov 2010, 20:45

minima.distanza ha scritto:Dopo che viene quello a cui è stato rubato il posto dal primo arrivato ( che si siede a caso), tutti si siedono a caso. Compreso quello a cui hanno rubato il posto
Ok, grazie
"Inequality happens"
---
"Chissa se la fanno anche da asporto"

Avatar utente
karlosson_sul_tetto
Messaggi: 1437
Iscritto il: 10 set 2009, 13:21
Località: Napoli

Re: Il caso al teatro

Messaggio da karlosson_sul_tetto » 20 nov 2010, 21:20

Dato che nessuno risponde, faccio un misero tentativo:
Prima poniao il caso che il possessore del posto rubato(chiamiamolo: PI) sia l'ultimo. Quindi la probabilità è zero.
Se il PI è il penultimo, la probabilità è 1/2.
Se il PI è il terz'ultimo, la probabilità è 2/3 x 1/2= 1/3.
Se il PI è il quart''ultimo, la probabilità è 3/4x2/3 x 1/2= 1/4.
E cosi via.
Se invece, il primo si siede al suo posto(con una probabilità di 1/200) allora la probabilità che l'ultimo si sieda al suo posto è 1. 1x 1/200= 1/200
Si ha quindi una successione numerica:
1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+...+1/198+1/199+1/200
E sbagliata, vero?
"Inequality happens"
---
"Chissa se la fanno anche da asporto"

minima.distanza
Messaggi: 131
Iscritto il: 11 giu 2010, 17:56
Località: Milano, in provincia...

Re: Il caso al teatro

Messaggio da minima.distanza » 20 nov 2010, 22:15

Prima poniao il caso che il possessore del posto rubato(chiamiamolo: PI) sia l'ultimo. Quindi la probabilità è zero.
Se il PI è il penultimo, la probabilità è 1/2.
Se il PI è il terz'ultimo, la probabilità è 2/3 x 1/2= 1/3.
Se il PI è il quart''ultimo, la probabilità è 3/4x2/3 x 1/2= 1/4.
E cosi via.
Se invece, il primo si siede al suo posto(con una probabilità di 1/200) allora la probabilità che l'ultimo si sieda al suo posto è 1. 1x 1/200= 1/200
Si ha quindi una successione numerica:
1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+...+1/198+1/199+1/200
ehm... devo pensarci :oops: lo avevo risolto, ma ho perso il foglio con la soluzione che avevo fatto, che pensavo di avere sottomano... Se intanto qualcuno vuole controllare o confermare, non è che sia bravissimo in questo tipo di problemi...

Avatar utente
karlosson_sul_tetto
Messaggi: 1437
Iscritto il: 10 set 2009, 13:21
Località: Napoli

Re: Il caso al teatro

Messaggio da karlosson_sul_tetto » 20 nov 2010, 22:18

minima.distanza ha scritto: ehm... devo pensarci :oops: lo avevo risolto, ma ho perso il foglio con la soluzione che avevo fatto, che pensavo di avere sottomano... Se intanto qualcuno vuole controllare o confermare, non è che sia bravissimo in questo tipo di problemi...
Mio fratello mi aveva detto che il risultato era 1/2, ma a me il risultato è maggiore di 1, quindi sicuramente avrò sbagliato qualcosa :lol:
"Inequality happens"
---
"Chissa se la fanno anche da asporto"

Avatar utente
<enigma>
Messaggi: 876
Iscritto il: 24 set 2009, 16:44

Re: Il caso al teatro

Messaggio da <enigma> » 20 nov 2010, 22:41

Hint: una piccola induzione è sufficiente. Ecco il perché dell'$ \frac 1 2 $.
"Quello lì pubblica come un riccio!" (G.)
"Questo puoi mostrarlo o assumendo abc o assumendo GRH+BSD, vedi tu cos'è meno peggio..." (cit.)

Avatar utente
karlosson_sul_tetto
Messaggi: 1437
Iscritto il: 10 set 2009, 13:21
Località: Napoli

Re: Il caso al teatro

Messaggio da karlosson_sul_tetto » 20 nov 2010, 22:54

<enigma> ha scritto:Hint: una piccola induzione è sufficiente. Ecco il perché dell'$ \frac 1 2 $.
Chiamami idiota, ma non ho capito l'hint :oops:
"Inequality happens"
---
"Chissa se la fanno anche da asporto"

Claudio.
Messaggi: 697
Iscritto il: 29 nov 2009, 21:34

Re: Il caso al teatro

Messaggio da Claudio. » 21 nov 2010, 00:44

Il possessore del posto rubato può trovarsi in qualsiasi posizione tranne che primo, con la stessa probabilità, quindi la probabilità che si trovi in una qualsiasi posizione è $ \frac1{199} $.
Adesso se è secondo abbiamo che tutti si siedono a caso, la probabilità che la poltrona dell'ultimo venga lasciata libera è uguale alla probabilità che qualsiasi altra poltrona(che adesso sono 199) venga lasciata libera quindi $ \frac1{199} $, se è terzo la probabilità dovrebbe essere $ \frac1{198} $ e così via fino a $ \frac12 $.
Quindi la probabilità dovrebbe essere $ \displaystyle \frac1{199}\sum_{k=2}^{199}{\frac1k} $
Dove sbaglio?

Avatar utente
karlosson_sul_tetto
Messaggi: 1437
Iscritto il: 10 set 2009, 13:21
Località: Napoli

Re: Il caso al teatro

Messaggio da karlosson_sul_tetto » 21 nov 2010, 09:47

Claudio. ha scritto:Il possessore del posto rubato può trovarsi in qualsiasi posizione tranne che primo, con la stessa probabilità, quindi la probabilità che si trovi in una qualsiasi posizione è $ \frac1{199} $.
Adesso se è secondo abbiamo che tutti si siedono a caso, la probabilità che la poltrona dell'ultimo venga lasciata libera è uguale alla probabilità che qualsiasi altra poltrona(che adesso sono 199) venga lasciata libera quindi $ \frac1{199} $, se è terzo la probabilità dovrebbe essere $ \frac1{198} $ e così via fino a $ \frac12 $.
Quindi la probabilità dovrebbe essere $ \displaystyle \frac1{199}\sum_{k=2}^{199}{\frac1k} $
Dove sbaglio?
Infatti ci viene la stessa cosa, ma si deve contare ache ill caso in cui il primosi sieda al suo posto ($ \frac{1}{200} $). :wink:
"Inequality happens"
---
"Chissa se la fanno anche da asporto"

Claudio.
Messaggi: 697
Iscritto il: 29 nov 2009, 21:34

Re: Il caso al teatro

Messaggio da Claudio. » 21 nov 2010, 11:21

Si, tu avevi dimenticato di dividere; quindi dovrebbe essere $ \displaystyle \frac1{200}\sum_{k=1}^{199}{\frac1k} $, ma non è corretto...

Avatar utente
karlosson_sul_tetto
Messaggi: 1437
Iscritto il: 10 set 2009, 13:21
Località: Napoli

Re: Il caso al teatro

Messaggio da karlosson_sul_tetto » 21 nov 2010, 11:23

Claudio. ha scritto:Si, tu avevi dimenticato di dividere
Scusa la mia ignoranza, ma perché si dovrebbe dividere?
"Inequality happens"
---
"Chissa se la fanno anche da asporto"

Claudio.
Messaggi: 697
Iscritto il: 29 nov 2009, 21:34

Re: Il caso al teatro

Messaggio da Claudio. » 21 nov 2010, 11:32

Perchè è la somma di tutte le probabilità. Adesso la probabilità che l'ultimo prenda il suo posto quando il possessore del posto rubato è secondo, è uguale alla probabilità che il possessore sia secondo per la probabilità che dopo che questo accade l'ultimo prenda il suo posto, quindi 1/200·1/199, quel 1/200 ci sarà per tutti i casi, quindi lo metti in evidenza.
Quando dividi i casi, e calcoli la probabilità per un determinato caso, poi in generale devi moltiplicare per la probabilità che quel caso accada.
Poi come hai detto tu, la tua probbilità è maggiore di 1....quindi hai dimenticato necessariamente qualcosa, e intuitivamente bisogna dividere per qualcosa ^^
Comunque qualcuno ci corregga!

Avatar utente
HarryPotter
Moderatore
Messaggi: 354
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Pavia

I mirabolanti prodigi della tecnica

Messaggio da HarryPotter » 21 nov 2010, 15:42

Vi comunico che, dalla riapertura del forum, è possibile nascondere le soluzioni in questo modo:
Testo nascosto:
Asino chi legge!
Pertanto non è più necessario colorare in bianco, grigino o azzurrino le soluzioni. Per farlo basta usare [ hide]testo da nascondere[ /hide] (senza spazio). Trovate il tasto hide nell'editor del messaggio tra i tasti "Font colour" e "tex".

Ora potete esultare per il progresso tecnologico e ringraziare fph. :D

Rispondi