Testo nascosto:
Il caso al teatro
Re: Il caso al teatro
Mi spiego un po' più esplicitamente (faccio che scrivere una piccola soluzione, ma se non volete bruciarvelo non guardate il testo nascosto).
"Quello lì pubblica come un riccio!" (G.)
"Questo puoi mostrarlo o assumendo abc o assumendo GRH+BSD, vedi tu cos'è meno peggio..." (cit.)
"Questo puoi mostrarlo o assumendo abc o assumendo GRH+BSD, vedi tu cos'è meno peggio..." (cit.)
Re: Il caso al teatro
Prova a vederla così: se quello con il posto rubato arriva secondo la probabilità cercata è $\frac{1}{199}$ per la probabilità che quelli dopo il secondo (e il secondo) non prendano il posto dell'ultimo, che è $\frac{199}{200}\cdot \frac{198}{199}\cdot ... \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{200}$. Se invece arriva terzo la probabilità (da moltiplicare per $\frac{1}{199}$) è $\frac{199}{200}\cdot \frac{198}{199}\cdot ... \cdot \frac{2}{3}=\frac{2}{200}$, e così via, quindi la probabilità finale è $\frac{1}{199}\sum_{i=1}^{199}\frac{i}{200}$, che è $\frac{1}{2}$. Alla fine bastava sfruttare il fatto che quelli tra il primo e il possessore del posto rubato non hanno scelta.Claudio. ha scritto:Il possessore del posto rubato può trovarsi in qualsiasi posizione tranne che primo, con la stessa probabilità, quindi la probabilità che si trovi in una qualsiasi posizione è $ \frac1{199} $.
Adesso se è secondo abbiamo che tutti si siedono a caso, la probabilità che la poltrona dell'ultimo venga lasciata libera è uguale alla probabilità che qualsiasi altra poltrona(che adesso sono 199) venga lasciata libera quindi $ \frac1{199} $, se è terzo la probabilità dovrebbe essere $ \frac1{198} $ e così via fino a $ \frac12 $.
Quindi la probabilità dovrebbe essere $ \displaystyle \frac1{199}\sum_{k=2}^{199}{\frac1k} $
Dove sbaglio?
Spero di essermi spiegato.
Edit: scusate avevo invertito il ragionamento, niente complementari...
cogito ergo demonstro
Re: Il caso al teatro
Sinceramente non ho capito, la probabilità che il possessore del posto sia nella posizione n non è 1/199 ma 1/200...perchè coincide con la probabilità che il primo si sieda nel posto n su 200 posti(perchè può anche sedersi nel suo)...Una volta che il primo si è seduto nel posto n(non il suo),abbiamo che n-2 persone si siederanno ai loro posti, arrivati alla persona n, abbiamo che il primo si è seduto nel posto n, e tutti gli altri ai loro, quindi rimangono 200-(n-1) posti tra cui quello che spetta all'ultimo, tutti si siederanno a caso, quindi la probabilità che un posto rimanga vuoto è uguale per tutti i posti quindi vale $ \frac1{200-(n-1)} $ che va poi moltiplicata per $ 1/200 $
Quando tu dici che la probabilità che sia secondo è 1/199, vuol dire che parli del caso in cui il primo non si è seduto al proprio posto, e quindi devi anche moltiplicare per 199/200 che è la probabilità che questo accada.
Quando tu dici che la probabilità che sia secondo è 1/199, vuol dire che parli del caso in cui il primo non si è seduto al proprio posto, e quindi devi anche moltiplicare per 199/200 che è la probabilità che questo accada.
Re: Il caso al teatro
Tu dici che la probabilità che, quando è secondo, l'ultimo prenda il suo posto è $\frac{199}{200}\cdot \frac{198}{199}\cdot ... \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{200}$ come se restassero ancora 200 posti liberi, in realtà ne restano 199(tra cui ovviamente quello dell'ultimo) quindi la probabilità è $\frac{198}{199}\cdot \frac{197}{198}\cdot ... \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{199}$, questo puoi notarle anche perchè 1/2 che è l'ultima probabilità che hai scritto tu, è la probabilità che il penultimo non prenda il posto dell'ultimo, quindi nella produttoria ci deve essere una frazione per ogni uomo dal secondo fino al penultimo essi compresi, questi sono 200-2(il primo e l'ultimo)=198, mentre nella tua produttoria ci sono 199 fattori. Stessa cosa anche quando occupa le altre posizioni, poi resta il fatto che ho scritto prima, sulla probabilità della posizione.Euler ha scritto: Prova a vederla così: se quello con il posto rubato arriva secondo la probabilità cercata è $\frac{1}{199}$ per la probabilità che quelli dopo il secondo (e il secondo) non prendano il posto dell'ultimo, che è $\frac{199}{200}\cdot \frac{198}{199}\cdot ... \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{200}$. Se invece arriva terzo la probabilità (da moltiplicare per $\frac{1}{199}$) è $\frac{199}{200}\cdot \frac{198}{199}\cdot ... \cdot \frac{2}{3}=\frac{2}{200}$, e così via, quindi la probabilità finale è $\frac{1}{199}\sum_{i=1}^{199}\frac{i}{200}$, che è $\frac{1}{2}$. Alla fine bastava sfruttare il fatto che quelli tra il primo e il possessore del posto rubato non hanno scelta.
Spero di essermi spiegato.
Edit: scusate avevo invertito il ragionamento, niente complementari...
L'unica spiegazione a quel 199/200 che metti come primo fattore dovrebbe essere che è la probabilità che il primo non sieda nel suo stesso posto, ma allora devi togliere tutti i fattori che vanno dal secondo fino al possessore del posto rubato la cui probabilità di non sedersi nel posto dell'ultimo è 1 per ipotesi.
Re: Il caso al teatro
Sì scusa ho kannato...beh succede, soprattutto quando si vogilono far quadrare i contiClaudio. ha scritto:Tu dici che la probabilità che, quando è secondo, l'ultimo prenda il suo posto è $\frac{199}{200}\cdot \frac{198}{199}\cdot ... \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{200}$ come se restassero ancora 200 posti liberi, in realtà ne restano 199(tra cui ovviamente quello dell'ultimo) quindi la probabilità è $\frac{198}{199}\cdot \frac{197}{198}\cdot ... \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{199}$, questo puoi notarle anche perchè 1/2 che è l'ultima probabilità che hai scritto tu, è la probabilità che il penultimo non prenda il posto dell'ultimo, quindi nella produttoria ci deve essere una frazione per ogni uomo dal secondo fino al penultimo essi compresi, questi sono 200-2(il primo e l'ultimo)=198, mentre nella tua produttoria ci sono 199 fattori. Stessa cosa anche quando occupa le altre posizioni, poi resta il fatto che ho scritto prima, sulla probabilità della posizione.Euler ha scritto: Prova a vederla così: se quello con il posto rubato arriva secondo la probabilità cercata è $\frac{1}{199}$ per la probabilità che quelli dopo il secondo (e il secondo) non prendano il posto dell'ultimo, che è $\frac{199}{200}\cdot \frac{198}{199}\cdot ... \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{200}$. Se invece arriva terzo la probabilità (da moltiplicare per $\frac{1}{199}$) è $\frac{199}{200}\cdot \frac{198}{199}\cdot ... \cdot \frac{2}{3}=\frac{2}{200}$, e così via, quindi la probabilità finale è $\frac{1}{199}\sum_{i=1}^{199}\frac{i}{200}$, che è $\frac{1}{2}$. Alla fine bastava sfruttare il fatto che quelli tra il primo e il possessore del posto rubato non hanno scelta.
Spero di essermi spiegato.
Edit: scusate avevo invertito il ragionamento, niente complementari...
L'unica spiegazione a quel 199/200 che metti come primo fattore dovrebbe essere che è la probabilità che il primo non sieda nel suo stesso posto, ma allora devi togliere tutti i fattori che vanno dal secondo fino al possessore del posto rubato la cui probabilità di non sedersi nel posto dell'ultimo è 1 per ipotesi.
Re: Il caso al teatro
Quindi la soluzione è $\displaystyle \frac1{200}\sum_{n=1}^{199}{\frac1n} $? Cioè circa il 3%...sembra credibile