Partizioni di [tex]\mathbb{N}[/tex] da Vicenza

[minima.distanza]

Un problema carino direttamente dal forum dei matematici Vicentini !
Partizionare l'insieme degli interi positivi in infiniti insiemi infiniti in modo che ogni insieme possa essere ottenuto da qualsiasi altro aggiungendo lo stesso numero intero positivo ad ogni suo elemento.

Io ci sto ancora pensando...

[dario2994]

Un problema carino direttamente dal forum dei matematici Vicentini !
Partizionare l'insieme degli interi positivi in infiniti insiemi infiniti in modo che ogni insieme possa essere ottenuto da qualsiasi altro aggiungendo lo stesso numero intero positivo ad ogni suo elemento.

Io ci sto ancora pensando...

Testo nascosto:

Qualcosa non quadra... così è facile mostrare che non si può...

[julio14]

Avrà sbagliato a scrivere... Se si impone solo che gli insiemi siano ognuno traslato di ogni altro, non importa se usando un numero positivo o negativo, funziona.

[minima.distanza]

No, a dire il vero l'ho copiato paro paro da quel sito, che è frequentato da adolescenti come noi, quindi non è improbabile che ci sia un errore a monte...

In ogni caso potresti postare il modo in cui vedi che è impossibile ? SOno curioso...

[julio14]

Prendi un insieme della partizione che non contiene lo 0, che numero sommi per ottenere quello che contiene lo 0?

[minima.distanza]

A dire il vero il problema l'ho copiato paro paro, se volete vi do il link XD . Dario, potresti postare il ragionamento che ti porta a dire che è impossibile ? Non metto in dubbio che tu non sia in errore, ma sono curioso...

[julio14]

Ehm... non sarò Dario, ma quello che ho scritto qua sopra è un ragionamento per cui, scritto così, l'esercizio è impossibile. Provo a rispiegarlo.
Metti per assurdo che esista una partizione di $\mathbb{N}$ con quelle caratteristiche. In particolare, poiché $0\in\mathbb{N}$, ci sarà un insieme $A$ che contiene lo $0$. Inoltre, poiché c'è più di un insieme, ci sarà un insieme $B\neq A$ che non contiene lo $0$. Ora, avremmo per assurdo che esiste $n\geq0$ tale che $A=\{n+b|b\in B\}$. In particolare, esiste $b\in B$ tale che $0=n+b$, assurdo perché tutti gli elementi di $B$ sono strettamente maggiori di $0$.

Detto questo, non metto in dubbio che tu abbia copiato il testo perfettamente. Però così non funziona, se invece non chiedi che sia positivo il numero da sommare all'insieme, viene un esercizio risolvibile e, a mio parere, carino, per questo ho il forte dubbio che l'errore nel testo fatto dai Vicentini sia proprio quello.

[minima.distanza]

bravo ! verissimo, non ci avevo pensato... E funziona anche se si esclude lo zero oltretutto

Bene bene, ho scoperto un nuovo modo per usare l'assurdo ( che fino a poco tempo fa mi veniva in mete di usare solo in tdn o in geometria)... Grazie per la spiegazione !

[paga92aren]

Se si esclude lo zero avremmo comunque un numero che è il minimo dell'insieme di partenza (es $N_0$) e si può ripetere lo stesso ragionamento.
Se il numero da aggiungere fosse intero relativo allora il problema diventa più interessante anche se credo che rimanga comunque impossibile per problemi legati alla cardinalità di N.

P.S. poiché non ricordavo esattamente il testo del problema lo ho risolto sui reali (banale)

[*angi*]

Prima di tutto desidero precisare che non mi sono inventata io il problema, come ho scritto anche sul nostro forum di Vicenza mi è stato posto da un compagno di stage a Pisa questo settembre, che mi aveva pure detto la soluzione e che ovviamente mi sono dimenticata poche ore dopo. XD
Tra l'altro, mi è venuto in mente di proporlo nel forum perchè mi è capitato di leggere lo stesso problema come esercizio carino carino di combinatoria mentre vagavo in rete alla ricerca di qualcosa di interessante per il forum. Quella che ho scritto io non è una cosa inventata su due piedi, ma la traduzione del problema dalla sua versione inglese. Ovvio che potrei aver sbagliato a trascrivere la traduzione, ma ho ricontrollato dove l'avevo letto e il testo scriveva esattamente così, anche se in effetti non funzionerebbe. Il senso con cui l'avevamo inteso era che, se prendi uno degli insiemi e aggiungi a tutti i suoi elementi lo stesso numero, ottieni un altro insieme della partizione; naturalmente per passare da questo insieme al primo di partenza è necessario aggiungere un numero intero negativo, e qui il testo era decisamente sbagliato. Spero che non ci siano dubbi ora, comunque vado a correggere perchè ora che me l'avete fatto notare mi rendo conto della stupidaggine che ho fatto. XD
Per chi è curioso, questo è il link al nostro forum di Vicenza, non siamo ad elevati livelli come qui ma per tenerci in contatto tra di noi e parlare un po' di matematica è più che sufficiente: http://giovani.mathesisvicenza.it

[Sonner]

Engel, numero 35 pagina 102.
Puoi partizionare l'insieme degli interi positivi in un infinito numero di insiemi di cardinalità infinita in modo che ogni sottoinsieme sia generato da ogni altro aggiungendo lo stesso intero positivo ad ogni suo elemento?

Nella soluzione sembra dimostrare però che ogni insieme $ A_i $ si può ottenere a partire da un insieme infinito di partenza $ A $, quindi non so se ha sbagliato a scrivere "intero positivo" o "generato da ogni altro". In ogni caso poco importa, la soluzione è la stessa in entrambi i casi

[julio14]

Bon, ora, dopo tanto chiacchierare, il problema è ancora aperto: qualcuno lo risolve? (Giusto per evitare che questo thread si chiuda così, sarebbe un po' triste)

[dario2994]

Bon... il tempo è passato e sarebbe un po' triste lasciare il thread chiudersi così
Sia $f:\mathbb{N_0}\to \mathbb{N}$ la funzione che associa al numero $n$ il numero che si ottiene azzerando le cifre in posto pari della scrittura in base 2 di $n$. Quindi:
$f(5)=f(101_2)=101_2=5$
$f(6)=f(110_2)=100_2=4$
$f(8)=f(1000_2)=0000_2=0$
Ora definisco le partizioni degli interi così: $m,n$ sono nella stessa partizione sse $f(m)=f(n)$.
Perchè rispetta le richieste del testo?
Ci sono infinite partizioni? Sì poichè f assume infiniti valori diversi
Le partizioni sono infinite? Sì poichè f assume ogni valore infinite volte (ad es. $f(10n_2)=f(n)$)
Ogni partizione si ottiene da un'altra aggiungendo una costante ad ogni suo elemento? Sì poichè tutte le partizioni sono in realtà tutti i numeri con tutte le cifre in posizione pari uguali a 0 più una qualche costante che varia a seconda della partizione

Come viene quest'idea?
Bon... a me è venuta così... si fa presto a ricondurre il problema a trovare $a_i,b_i$ tali che ogni naturale (0 compreso) si scriva in modo unico come $a_x+b_y$... qui può venire l'idea di riscrivere come:
$\displaystyle \left(\sum_{i=0}^\infty x^{a_i}\right)\left(\sum_{i=0}^\infty x^{b_i}\right)=1+x+x^2+x^3+\dots=\frac{1}{1-x}$
Quindi dobbiamo fattorizzare in modo particolare $\frac{1}{1-x}$... è piuttosto famosa la fattorizzazione:
$\displaystyle\prod_{i=0}^{\infty}(1+x^{2^i})=\frac{1}{1-x}$
Che qui torna particolarmente utile perchè ora basta scegliere $A,B$ una bipartizione dei naturali (con A,B infiniti) e scrivere:
$\displaystyle \sum_{i=0}^\infty x^{a_i}=\prod_{i\in A}(1+x^{2^i})$ e $\displaystyle \sum_{i=0}^\infty x^{b_i}=\prod_{i\in B}(1+x^{2^i})$ e tutto funge. Io nella dimostrazione di sopra ho scelto A,B numeri pari e dispari