Staffetta 18 combinatoria-geometria

[paga92aren]

Dato un punto O Anna pensa a un punto P che dista meno di 5 m da esso. Barbara può segnare sul piano $n$ punti. Dopo chiede ad Anna per ogni coppia di punti quale dei due sia più vicino a P. Barbara deve circoscrivere una zona di meno di 10 m$^2$ nel quale è presente il punto P. Qual'è il minimo valore di $n$ per cui è possibile ciò?

(il problema è di mia invenzione)

[amatrix92]

mmm scusa ma non ho capito la correlazione dal fatto che Barbara faccia la domanda ad Anna e Anna circoscriva una zono di meno di 10 m^".. Anna risponde alla domanda?

[staffo]

Data una coppia di punti, il luogo dei punti equidistanti da esso è una retta, quindi per ogni coppia di punti divido la circonferenza in due parti attraverso la retta, in cui appunto se $ P $ è dalla parte di $ n_1 $ sarà più vicino ad $ n_1 $ che ad $ n_2 $, è viceversa.

Ora (e soprattutto non hai specificato che debba valere sempre, perchè se io prendo due punti molto vicini e vicini alla circonferenza, e mi va di fortuna che il punto P sia vicino a quello più vicino alal circonferenza, con già due punti ho trovato una zona minore di $ 10m^2 $) dunque non mi resta che tentare di dividere $ \pi25m^2 $ in modo da ottenere $ 10m^2 $. con 3 punti ho già 3 rette, e con 3 rette io posso dividere la superficie in 7 parti massimo, il che non sono sufficienti.
Con 4 punti però posso ottenere 11 parti, il che mi è sufficiente
(il problema mi è sembrato facile, quindi magari ho interpretato male il testo)

[paga92aren]

@amatrix92 mettiti nei panni di Barbara e tenta di descrivere una zona di 10 m^2 nel modo sopra descritto.

@staffo con 4 punti hai 6 rette e quindi molte zone, ma queste rette non sono indipendenti tra loro (per esempio alcune concorrono) quindi devi dimostrare che le 11 (perché?) zone sono tutte più piccole di 10 m^2 (basta un esempio)

[staffo]

le rette non concorrono se non le fai concorrere, e comunque siccome non voglio pensare eventi più favorevoli che non ho voglia, dispongo i 4 punti sui lati di un quadrato le cui diagonali passano per il centro, ottengo 8 parti di piano equivalenti, ciascuna minore di 10.

ok?

[paga92aren]

Ok credevo fosse più difficile l'esempio, forse cambiando i numeri diventa più interessante...

Provate a risolvere lo stesso problema con raggio 4 m e un'area di 5 m^2. (staffo se vuoi puoi porre il prossimo problema oppure lo porrà chi lo risolve con i nuovi numeri)

[staffo]

ma non è una questione di numeri, tu sai che il numero di parti in cui è divisa con $ n $ rette è al più $ \frac{n(n+1)}{2}+1 $, il numero di rette con $ k $ punti è al più$ \binom{k}{2} $ e appena trovi la configurazione minima, provi a costruirti il caso particolare =)

[paga92aren]

ok il minimo è sempre 4 ma il tuo esempio non funziona più perché $2\pi>5$, esiste una sistemazione migliore dei punti...

[staffo]

Disposizione punti: tre sulla circonferenza a formare il triangolo equilatero inscritto, uno nel centro della corconferenza; l'area massima dei pezzi che si vengono a formare è $ \frac{8}{3}\pi-2\sqrt{3}<5 $

[paga92aren]

ok come ho fatto io vai col prossimo problema!!!