Due identità: somme di potenze

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Mist
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Due identità: somme di potenze

Messaggio da Mist » 14 ago 2011, 15:17

è un fatto "abbastanza noto" (probabilmente nella definizione che darebbe enigma di "noto") che

$$\sum_{k=1}^{n}k^z = \sum_{k=1}^{z}S(z,k)\binom{n+1}{k+1}k!$$

Dove $S(k,i)$ è il numero di partizioni di un insieme di $n$ elementi in $k$ blocchi (numeri di stirling del secondo tipo)
Dimostratelo :D

Siccome reputo impossibile (quasi) farsi venire in mente da soli la dimostrazione che conosco io, ecco un hint...
Testo nascosto:
Contate le triple $(x,y,z)$ da $\{ 1,2 \dots , n+1 \}$ con $z> \mbox{max}(x,y)$ :wink:
E se qualcuno conosce un altro modo lo invito a postarlo...

Ecco un altro fatto carino, più semplice, di cui è stato già fatto un caso particolare tempo fa (non andate a sbirciare :P )
$$\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}k^z = \sum_{k=1}^{z}\frac{n!}{(n-k)!}2^{n-k}\binom{z}{k}$$

Dimostrate tutto con la combinatoria, e i rilanci come sempre sono ben accetti
"Se [...] non avessi amore, non sarei nulla."
1Cor 13:2

"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102

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