Abbasso gli insiemi

[Gottinger95]

Sia \(A\) un insieme, e sia \(\mathcal{R}\) una relazione d'equivalenza definita in \(A\). Sia \(A/\mathcal{R}\) l'insieme \(A\) in cui si considerano equivalenti due elementi se lo sono secondo \(\mathcal{R}\). Per esempio, se \(g_n\) è la relazione d'equivalenza tra due numeri che danno lo stesso resto modulo \(n\), allora \(\mathbb{Z} / g_n\) è l'insieme dei resti modulo \(n\).

Dato \(A\) tale che \(|A| = n\), determinare il numero di funzioni \(f: A \rightarrow A/\mathcal{R}\) al variare di tutte le possibili relazioni d'equivalenza \(\mathcal{R}\).

[EvaristeG]

Non ho capito, $f$ è la funzione che ad ogni $x\in A$ associa la classe di equivalenza? Quindi stai chiedendo di contare quante relazioni di equivalenza esistono su un insieme di $n$ elementi?

Testo nascosto:

Quindi stai chiedendo in quanti modi può essere partizionato? Quindi la risposta sono i numeri di Bell per cui non c'è formula chiusa?

[Gottinger95]

Si, esatto.

Testo nascosto:

Per dignità fingiamo non abbia mai scritto nulla.

[darkcrystal]

Non sono molto convinto:

Testo nascosto:

quella formula neanche fornisce un intero! (prova n=4)

[EvaristeG]

Ma infatti dovrebbe essere

Testo nascosto:

$$B_n=\frac{1}{e}\sum_{k=0}^\infty\frac{k^n}{k!}$$

[Gottinger95]

Si, scusate, ho capito cosa non andava nel mio ragionamento. (che tra l'altro volevo scrivere \(i^n\), ma non cambia nulla)
Comunque ho postato il problema senza saperne la soluzione, mi era venuto in mente!