Un gioco perverso

[machete]

Albertone e Barbara giuocano. Hanno di fronte a loro due colonne, A e B, di 100 monete ciascuna. Su ogni moneta è scritto un numero reale (a casissimo: positivo, negativo, nullo, giallo, verde, dolce, molle, sinistrorso, capovolto. . . ) che è conosciuto dai giocatori.
Una mossa consiste nel scegliere una moneta di una colonna, automaticamente si deve prendere anche la moneta corrispondente nell' altra colonna (i.e. quella alla stessa "altezza"), prendere la moneta della colonna A e metterla nella tasca sinistra, prendere la moneta della colonna B e metterla nella tasca destra. Poi tocca all' altro giocatore. Quando non rimangono più monetuzze i due giocatori compiono questa delicata operazione:
sommano i numeri delle monete della tasca destra, ne fanno il quadrato e lo sommano al quadrato della somma dei numeri delle monete della tasca sinistra, ottenendo così il loro punteggio. Chi ha il punteggio più grosso vince. Parte a giocare Albertoso. Dimostrare che può sempre non perdere, ossia può ottenere un punteggio non minore di quello di Barbara.

'Sto problema viene da una ammissione alla Scuola Superiore di Catania, personalmente l' ho trovato strano. . . Spero salti fuori una soluzione più bella della mia!

[Lasker]

Ecco una dimostrazione che fa uso dei numeri complessi.

Associo ad ogni "altezza" $k$ delle $100$ possibili il numero complesso $z_k$ che ha per parte reale il numero presente sulla moneta della colonna A ad altezza $k$ e per parte immaginaria il numero presente sulla moneta della colonna B sempre ad altezza $k$. Il gioco che fanno Alberto e Barbara si riduce quindi a spartirsi i $100$ numeri complessi $(z_1,z_2,...,z_{100})$, sommare i fra loro propri e valutare quale dei due moduli dei complessi-somma sia più grande.
Diamo ora un po' di nomi alle variabili in gioco (questa parte sarà davvero difficile da fare senza incasinarmi ), siano:
-$S_k=\sum_{k=1}^{100}z_k=R e^{i\theta}$.
-$z'_k=z_ke^{-i\theta}$ per ogni $k$.
-$S_a$ ed $S_b$ rispettivamente la somma dei numeri complessi $z_k$ scelti da Alberto e da Barbara.
-$S'_a$ ed $S'_b$ rispettivamente la somma dei numeri complessi $z'_k$ scelti da Alberto e da Barbara.
Grazie alle proprietà generali dei complessi, posso scrivere:
$$\left|\sum_{k=1}^{100}z'_k\right|=\left|\sum_{k=1}^{100}z_ke^{-i\theta}\right|=\left|e^{-i\theta}\sum_{k=1}^{100}z_k\right|=\left|e^{-i\theta}\right|\cdot\left|\sum_{k=1}^{100}z_k\right|=|S_k|=R$$
E, più nel dettaglio, posso valutare allo stesso modo i punteggi di Alberto e Barbara con i $z'_k$!
$$|S_a|=\left|\sum_{Alberto}z_k\right|=\left|e^{-i\theta}\sum_{Alberto}z'_k\right|=|S'_a|$$
$$|S_b|=\left|\sum_{Barbara}z_k\right|=\left|e^{-i\theta}\sum_{Barbara}z'_k\right|=|S'_b|$$
Da cui $|S_a|^2=|S'_a|^2$ e $|S_b|^2=|S'_b|^2$.
Perché abbiamo creato questi $z'_k$? La cosa che ci piace veramente è:
$$S'_a+S'_b=\sum z'k=\sum e^{-i\theta}z_k=e^{-i\theta}\sum z_k=e^{-i\theta}Re^{i\theta}=R$$
Che ci dice che, se consideriamo il punteggio con gli $z'_k$, le parti immaginarie della somma di Alberto e Barbara sono uguali ed opposte. Vogliamo quindi dimostrare che è possibile per Alberto far sì che:
$$[Re(S'_a)]^2+[Im(S'_a)]^2\geq [Re(S'_b)]^2+[-Im(S'_a)]^2\Rightarrow Re(S'_a)^2\geq Re(S'_b)^2$$
Visto che $Re(S'_a)+Re(S'_b)=R\geq 0$, facendo sì che Alberto scelga i complessi $z'_k$ ordinati secondo la dimensione della loro parte reale (privilegiando quindi i positivi), otteniamo facilmente $Re(S'_a)\geq 0$, e quindi:
$$Re(S'_a)\geq -Re(S'_b)\Rightarrow Re(S'_a)^2\geq Re(S'_b)^2$$
E così si assicura sempre un punteggio maggiore od uguale a quello di Barbara.
Spero di non aver fatto troppi errori grossolani .

[Drago96]

Wow!
Very compliments, come ti è venuta in mente?

Comunque la fine, per come l'hai scritta tu non mi convince... Ok, per far sì che Alberto vinca deve fare in modo che $\Re(S'_a)^2\ge\Re(S'_b)^2$, che però vale se e solo se $(\Re(S'_a)+\Re(S'_b))(\Re(S'_a)-\Re(S'_b))\ge0$ sse $\Re(S'_a)\ge\Re(S'_b)$. Di questo hai fatto un accenno, ma -almeno a me- non è molto chiaro come concludi esattamente (che poi è banale, va beh, ma non sono riuscito a seguire l'ultima parte del tuo messaggio)

Poi ho visto che nelle equazioni per $|S'_a|$ e $|S'_b|$ usi $e^{-i\theta}$ quando mi pare che ci vada un $e^{i\theta}$, ma non è importante, dato che serve per le norme...

P.S. usa \Re e \Im per $\Re(\cdot)$ e $\Im(\cdot)$

[Lasker]

Più che altro, il motivo dell'approccio con i complessi è stato il "come si calcolava il punteggio", che ricorda un sacco il modulo$^2$, e poi ci ho provato mezza giornata con i vettori .
Verso la fine sono andato un po' di fretta, è vero, probabilmente per stanchezza dopo aver scritto tutte quelle sommatorie .

P.S. grazie per l'aiuto con $\Re(z)$, non immaginavo esistesse (un po' come \ord_a(b), che mi fa sempre saltare fuori un errore...)

[machete]

Le mie speranze si sono avverate! L' interpretazione geometrica era telefonata ma è l' idea di ruotare il sistema di riferimento a cambiare tutto! In effetti così riesci a spostare il problema su una componente e Alberto ha una strategia! Bello! . . . In effetti, come hanno già detto, la tua conclusione non è troppo chiara, e il passaggio in cui elevi al quadrato mi sembra illegale (a priori poteva essere negativo e di modulo GROSSO il RHS). Comunque ti sei ricondotto a dimostrare che dati cento reali con somma non negativa se Alberto prende sempre il massimo di quelli che ha a disposizione allora vince, che è quasi ovvio. Comunque bene:-)

Per la cronaca la mia dimostrazione era molto diversa e non sono certo fosse del tutto corretta. . . La posterò per i posteri!