49. Nel piano cartesiano.

[lucaboss98]

Forse è un problema noto, ma non trovavo nient' altro..
Su un piano cartesiano è disposta una rete metallica costituita da fili rettilinei che, incrociandosi
perpendicolarmente, formano quadrati di lato unitario. La rete è disposta con i fili paralleli agli assi
e gli incroci in punti con coordinate intere.
Una formica si muove lungo la rete, scegliendo a caso ogni incrocio quale direzione prendere, ma sempre
nel verso positivo degli assi.

(a) La formica ha percorso un cammino dall'origine $ (0,0) $ al punto $ (m,n) $ , con $ m,n>0 $ . Qual è la probabilità
che sia passata per un dato punto $ (i,j) $ ?

(b) Per quali punti $ (i,j) $ tale probabilità è minima ma non nulla?

[xXStephXx]

(a) Si tratta di considerare il rettangolo delimitato da $(0,0)$ e $(i,j)$ e quello delimitato da $(i,j)$ e $(m-i, n-j)$.
Bisogna quindi moltiplicare i percorsi validi in entrambi i rettangoli che sono $\displaystyle \binom{i+j}{i} \binom{m+n-i-j}{m-i}$
Quelli totali sono $\displaystyle \binom{m+n}{m}$
Ciò è dovuto al fatto che ogni volta può andare o a destra o verso l'alto, quindi si tratta di anagrammare queste due scelte diverse.
La probabilità è quindi data da $\displaystyle \frac{ \binom{i+j}{i} \binom{m+n-i-j}{m-i}}{ \binom{m+n}{m}}$

(b) E' minima agli estremi, ovvero nei punti $(0, n)$ e $(m,0)$ perchè c'è solo un percorso valido che passa per quei punti, la scelta è sempre obbligata. In tutti gli altri casi i percorsi validi sono sempre più di 1.

[lucaboss98]

Giusta vai pure col prossimo.

[xXStephXx]

Intanto ne approfitto per chiedere un dubbio atroce che mi stava venendo! (ma forse sto chiedendo una nabbata xDD )

Il problema 13 qua: http://www1.mat.uniroma1.it/didattica/o ... quadre.pdf
e la sua soluzione: http://www1.mat.uniroma1.it/didattica/o ... quadre.pdf

E' chiaro che i due risultati non coincidono, come si spiega?

[edit]forse nel problema della gara non si aveva la certezza che paolino raggiunge l'opposto.... bella trollata....

[lucaboss98]

Premetto che non ho guardato la soluzione, ma mi verrebbe, ovviamente casi totali $ \binom{20}{10} $
I casi favorevoli dovrebbero essere, per il principio di inclusione-esclusione, i casi totali meno i casi i cui passa per $ F $ meno i casi in cui passa per $ M $ più i casi in cui passa sia per $ F $ che per $ M $.
Passando ai numeri, i casi favorevoli sono $ \binom{20}{10} – \binom{2}{1} \cdot \binom{18}{9} – \binom{10}{5} \cdot \binom{10}{5} + \binom{2}{1} \cdot \binom{8}{4} \cdot \binom{10}{5} = 184756 – 97240 – 63504 + 35280= 59556 $
Ed i casi totali erano $ 184756 $
Quindi la probabilità dovrebbe essere $ \dfrac{59556}{184756}=\dfrac{14889}{46189} $ . Ma potrei aver sbagliato dei conti...

[xXStephXx]

Ok, ora leggi la soluzione e..... buona troll math
Però effettivamente mi hanno fatto notare che anche nel mio caso i percorsi non sono tutti equiprobabili... quindi il dubbio mi rimane!

[lucaboss98]

Non saprei... ora la ho letta..